Элементарные функции

1. Числовая функция.

Определение 1. Числовой функцией с областью определения называется соответствие, при котором каждому числу из множества сопоставляется по некоторому правилу единственное число , зависящее от .

Пусть переменная величина принимает действительные значения.

Определение 2. Если каждому значению поставлено в соответствие единственное число , то говорят, что на множестве определена функция действительного переменного .

- независимая переменная (аргумент), - зависимая переменная (функция), - область определения функции, - область значений функции.

Способы задания функции:

Аналитический (формулой), табличный, графический, словесный.

Определение 3. Длиной интервала называется число (так же отрезок и полуинтервал).

Пример. Найти длину отрезка : .

Определение 4. Пусть - произвольная точка, лежащая на числовой прямой.

О крестностью точки называется любой интервал с центром в этой точке. Пусть - окрестность точки обозначим , т.е. , тогда - « - окрестность точки »

Свойства окрестностей.

1. Для любой точки х существует окрестность.

2. Для любых 2-х точек числовой прямой, существуют не пересекаемые окрестности.

3. Для любого конечного числа окрестностей точки всегда существует такая окрестность этой точки, которая целиком содержится во всех данных окрестностях.

2. Область определения функции.

Определение 5. Область определения функции - это множество всех значений аргумента , для которых функция определена (имеет смысл, может быть вычислена).

Если функция задана формулой и её область определения не указана, то считается, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

2.1.Алгоритм нахождения области определения функции

1. Выписать элементарные функции, из которых состоит данная функция.

2. Записать в виде системы неравенств и равенств области определения выделенных элементарных функций.

3. Найти решение полученной системы.

4.Выписать область определения исходной функции – решение системы.

2.2. Особенности нахождения области определения функции

1. Знаменатели дробей, входящих в формулу , не должны равняться нулю.

Пример. .

2. Если формула содержит корни чётных степеней, то подкоренные выражения должны быть неотрицательными ( ).

Пример.

.

3. Область значений функции. График функции.

Определение 6. Областью значений функции называется множество, состоящее из всех чисел , таких, что принадлежит области определения функции .

Определение 7. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, где , а «пробегает» всю область определения функции .

4. Нули функции.

Определение 8. Нулями функции называются значения аргумента , при которых ; - корень функции, если . Геометрически - это абсциссы точек пересечения графика функции с осью .

4.1. Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение с учётом области определения функции.

Примеры.

А) ; Б) ; С) .

Определение 9. Функция называется ограниченной, если существует такое число такое, что для любого верно неравенство: . Иначе функция называется неограниченной.

5. Четность или нечетность функции.

Определение 10. Функция называется четной (нечетной), если выполняются два условия: