5.Транспонирование матрицы.

Транспонирование – это замена строк столбцами. Например, пусть дана матрица А

размерностью :

.

Если в матрице А поменять местами строки и столбцы, то получится матрица, транспонированная к данной, обозначаемая : .

Приведем основные свойства операции транспонирования, которые легко доказываются вычислением:

1. Двойное транспонирование возвращает исходную матрицу: .

2. Транспонирование суммы матриц эквивалентно сумме транспонирования слагаемых: .

3. Транспонирование произведения двух матриц эквивалентно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: .

4.Произведение матрицы на свою транспонированную или всегда имеет результатом симметричную квадратную матрицу.

5. Если матрица A – квадратная, то значение ее определителя не зависит от транспонирования: .

Лекция 2 . Определители матриц

1. Определители матриц второго и третьего порядков.

2. Свойства определителей.

1. Определители матриц второго и третьего порядков

Определение 1. Определителем матрицы второго порядка называется число:

(т.е. произведение элементов, расположенных на главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали).

Определение 2. Определителем матрицы третьего порядка называется число:

Правая часть формулы (1) представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах матрицы. Соединив линией элементы каждого произведения, получим две схемы, которые позволяют определить знаки слагаемых и элементы, входящие в них сомножителями:

«+» «-»

Пример 1. Вычислить определитель матрицы .

2. Свойства определителей

В определителе строки и столбцы равноправны, поэтому все свойства для строк справедливы и для столбцов.

1. При замене строк на столбцы определитель не меняется, т.е. определитель не меняется при транспонировании матрицы.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель изменяет знак на противоположный.

3. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Следствие 1. Если вся строка определителя нулевая, то он равен нулю.

5. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины.

6. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (ниже) главной диагонали, - нули , равен произведению элементов главной диагонали.

7. .

8. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей: .

Лекция 3 . Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Формулы Крамера

Система линейных уравнений имеет вид:

где коэффициенты при неизвестных; свободные члены .

Прямоугольная таблица чисел называется матрицей системы.

Расширенной называется матрица, которая получается приписыванием к матрице системы столбца свободных членов, т.е. .

Определение 1. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система линейных уравнений имеет либо одно, либо бесконечно много решений. В первом случае она называется определенной, а во втором – неопределенной.

Определение 2. Система линейных уравнений, которая не имеет решений, называется несовместной. Если система уравнений содержит уравнение , называемое противоречивым, то она несовместна.

Определение 3. Две система линейных уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения. Если в системе линейных уравнений вычеркнуть одно или несколько уравнений вида

, называемых тривиальными. Тогда получим систему уравнений, равносильную исходной.

Теорема Крамера. Система уравнений с неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Формулы Крамера:

,

где - определитель матрицы системы;

-определитель, получаемый из заменой k-го столбца столбцом свободных членов.

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:

1. и каждый определитель . Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных пропорциональны, то есть каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число . Очевидно, что при этом система имеет бесчисленное множество решений.

2. и хотя бы один из определителей . Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме , пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.

Например, для системы из трёх уравнений:

Ответ: .

При решении систем линейных уравнений используют также метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе со ступенчатой матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной ступенчатой системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1) умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число;

2) сложение и вычитание уравнений;

3) перестановку уравнений в системе;

4) исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

Пример 1. Решить систему .

; ;

; .

По формулам Крамера находим: .

Ответ: .

Пример 2.

.

Ответ: .