Раздел I. Линейная алгебра Лекция 1. Операции над матрицами. Элементарные преобразования матриц.

1. Понятие матрицы и ее виды.

2. Операции над матрицами.

3. Свойства операции умножения матриц.

4.Возведение матрицы в целую положительную степень.

5.Транспонирование матрицы.

1. Понятие матрицы и ее виды

Если в распоряжении имеется два продукта, первый в количестве , а второй в количестве , причем стоимость единицы первого продукта и второго соответственно равны и , тогда общая цена (совокупного продукта) будет равна . Предположим, что каждый продукт состоит из двух компонентов, а в единице первого продукта содержится единиц первого компонента и единиц второго компонента. Если стоимость единицы первого компонента равна , а второго , то стоимость компонентов (затраты на сырье) ; затраты на компоненты для второго продукта . Следовательно, общие затраты (стоимость компонентов) в совокупном продукте , а разность между общей ценой и общими затратами .

Если подставить затраты и , получим .

Этот результат можно записать в более удобной компактной форме, если принять следующие обозначения: пара чисел, записанных в строку или столбец, называется вектор – строка, или вектор – столбец размерности 2. Содержание компонентов в продуктах запишем в виде таблицы , такую таблицу будем называть квадратной матрицей. Итак, начнем с определений.

Определение 1. Матрицей A размерностью называется прямоугольная таблица чисел, имеющая строк и столбцов . .

Каждый элемент снабжается двумя индексами: , где первый индекс, указывает номер строки; второй – номер столбца; в котором расположен этот элемент.

Примеры 1-5.

- прямоугольная;

- квадратная;

- вектор – строка;

- вектор – столбец;

- единичная (всегда квадратная).

Определение 2. Размерностью матрицы называется количество её строк и столбцов .

Две матрицы называются равными, если они одинаковой размерности и если равны элементы, расположенные на соответствующих местах этих матриц.

Например, .

Если число столбцов матрицы п равно числу её строк, то матрицу называют квадратной матрицей порядка п. Элементы квадратной матрицы - порядка образуют её главную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, например: .

Диагональная матрица называется единичной, если все её элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице.

Пример 6. единичная матрица II порядка;

Пример 7. единичная матрица III порядка.

Матрица называется нулевой, если она состоит из одних нулей.

Обозначаются матрицы заглавными буквами: .

Матрица называется треугольной или трапецевидной, если все элементы, стоящие под (над) главной диагональю нулевые:

треугольная матрица

трапецевидная матрица

Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Элементы матрицы , у которой номер столбца равен номеру строки, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы . Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов: .

Квадратная матрица называется симметричной, если при . Заметим, что матрица существенно отличается от определителя. Матрица – это не число, а таблица чисел. Более того, в математике понятие «матрица» может обозначать прямоугольную таблицу не только чисел. Только для квадратных матриц введено понятие определителя, являющегося ее важнейшей характеристикой. Значит, возвращаясь к предыдущей задаче, можно говорить о матрице общих затрат, стоимостной матрице.