4.2. Розривні функції

Якщо функція не є неперервною у точці , то кажуть, що функція розривна (має розрив) у цій точці.

Точка називається точкою усувного розриву функції , якщо

.

Така назва пояснюється тим, що, змінюючи значення функції лише в одній точці, функцію можна зробити неперервною.

Приклад 3. Функція визначена в проколеному околі точки . Визначити функцію у точці так, щоб функція була неперервною у точці .

Розв’язання. . Звідси виходить, що функція неперервна у точці .

Точка називається точкою розриву першого роду, якщо права і ліва границі в цій точці існують, але

.

Число називається стрибком функції у точці .

Приклад 4. Знайти точки розриву функції (рис. 4.2).

Розв’язання. Функція має розриви першого роду в точках :

1) ;

2) .

Розриви усувні та першого роду іноді називають простими розривами. Якщо хоча б одна з границь , не існує або є нескінченною, то точка називається точкою розриву другого роду.

Приклад 5. Визначити характер точок розриву функції .

Розв’язання. Ця функція неперервна всюди, крім точок 0 і . Точка є точкою розриву першого роду зі стрибком

.

Точка є точкою розриву другого роду: , . Ескіз графіка цієї функції поданий на рис. 4.3.

Р

Рис. 4.3

озривними функціями описуються моделі багатьох процесів, що проходять у навколишньому світі. Так, наприклад, поблизу температури розтавання льоду кількість теплоти, що знаходиться у грамі води (льоду), змінюється стрибкоподібно.

4.3. Властивості неперервної функції

1. Локальні властивості (властивості в малому околі фіксованої точки):

1)

неперервна у точці

: ;

2)

неперервна у точці ,

:

(порівняйте з твердженням теореми 2 підрозд. 3.6).

2. Глобальні властивості (властивості на всій області визначення).

Означення 1. Функція називається неперервною на відрізку , якщо вона неперервна на інтервалі , а також

, .

Важливою властивістю неперервної на відрізку функції є те, що сукупність її значень являє собою відрізок.

З цієї властивості випливають такі результати:

Якщо функція неперервна на відрізку , то

1) вона досягає на ньому як найбільшого , так і найменшого своїх значень і (рис. 4.4):

;

2)

;

3)

.

На останньому результаті засновані методи відшукування коренів рівняння .

Рис. 4.4			Якщо функція зростає (спадає) і є неперервною на відрізку , то обернена для функція зростає (спадає) і є неперервною на відрізку . 3.9. Асимптоти графіка функції При побудові графіка функції велику роль відіграють прямі, до яких графік необмежено наближається за умови, що відстань від точки графіка до початку координат прямує до . Ці прямі називаються асимптотами графіка функції.
	а Рис.3.10	б		Якщо при , що прямує до зліва чи справа, то пряма є вертикальною асимптотою графіка функції (рис.3.10,а). Якщо , то пряма є правоюпохилою асимптотою графіка функції (рис. 3.10, б).

Якою б вузькою не була смужка, що оточує праву похилу асимптоту, є такий окіл , що для графік функції цілком міститься у цій смужці.Наступні твердження еквівалентні:

,		, ,			– права похила асимптота
Якщо , то пряма є правою горизонтальною асимптотою графіка функції (рис. 3.10, в). Аналогічним чином визначається ліва похила асимптота. Рис. 3.10			в Рис. 3.10

Приклад 21. Знайти асимптоти кривої: ;

Розв’язання. 1) Оскільки при , то рівняння вертикальної асимптоти має вигляд .При цьому

, .

Шукаємо похилі асимптоти:

Рис. 3.12

, Отже, пряма є похилою асимптотою (рис. 3.12). Інакше .

при і, отже, пряма є похилою асимптотою графіка.

ПОХІДНА

Одне з основних понять природознавчих наук – поняття похідної – виникло в процесі розв’язання двох практично важливих задач: задачі про визначення швидкості при неперервному русі і задачі про проведення дотичної до лінії. Тут, як і в інших прикладних задачах, наочно проявляється таке: практика приводить до деякого поняття (наприклад швидкості), математика чітко відзначає це поняття й виробляє метод, користуючись яким, можна доповнити експериментальне уявлення про швидкість можливістю її теоретичного обчислення.