2.Диференціальне числення

1. Границя функції

1.Інтуїтивне означення границі

Почнемо з інтуїтивного означенням границі. Поняття границі пов'язане з вивченням поведінки функції в зв'язку з поведінкою її аргумента . Ставиться питання про те, як поводить себе змінна ,коли змінна необмежено наближається до деякої сталої . Якщо при наближенні змінної х до сталої функція також наближається до деякої сталої ( не припускається, що визначена при = , наприклад ), то вважається, що прямує до границі при . У виглялі формули

.

Функції, які вивчались у середній школі називаються елементарними.

Т еорема 1. Якщо елементарна функцію визначена у точці , то .

Рис.1

Рис.2

Цей випадок ілюструється на рис.1. На рис 2 подано графік парної функції ,яка не визначена у точці =0, але границя цієї функції у точці =0 існує та дорівнює 1.

Приклад 1. Обчислити границі:

а) ; б) ; в) .

2.Нескінченні границі

Означення. Змінна величина прямує до (нескінченності), якщо вона стає та залишається більшою скільки завгодно великого наперед заданного числа.

Приклад 2. По графіках функцій (рис.3)видно, що вони при . Взагалі при , якщо . (1)

Рис.3

Рис.4

Приклад 3. По графіках функцій видно, що вони при .Взагалі ,якщо , тобто (2)

3.1. Скінченна границя функції у точці.Точне означення

Поняття границі виникає у результаті розв’язання багатьох прикладних задач (площа фігури, швидкість точки і т. д.) і є фундаментом, на який спирається більшість розділів природознавства.

Перейдемо до точних означень.

О значення 1. Околом точки називається довільний інтервал, який містить цю точку. Проколеним околом точки називають окіл точки, з якого виключена сама точка . У будь-якому околі точки вміщується симетричний - окіл цієї точки, тобто сукупність точок вигляду .

Нехай функція визначена у проколеному околі точки .

Означення 2. Число називається границею функції у точці (при , що прямує до ), якщо для будь-якого околу числа знайдеться такий проколений окіл точки , що для всіх значення функції (рис. 3.1).

(Значення виключається для того, щоб подане вище означення можна було використовувати як у тому випадку, коли функція в точці невизначена (рис. 3.1,а), так і у тому, коли (рис. 3.1,б)).

a	б
в Рис. 3.1	Якщо – границя функції , коли прямує до , то використовують такі позначення: або , . За допомогою логічних символів означення скінченної границі функції у точці записується таким чином:

.

Можна довести, що в тому випадку, коли елементарна функція визначена в точці , знаходження границі не викликає труднощів:

.

Приклад 1. Обчислити границі:

а) ; б) ; в) .

Оскільки в кожному околі точки міститься її деякий симетричний окіл, то в поданому вище означенні скінченної границі можна замінити околи і відповідно на і . З геометричної точки зору це відповідає тому, що графік функції для лежить у горизонтальній смузі, ширина якої з центром в .

Приклад 2. Обчислити .

Розв’язання. Функція не визначена при . Покаже-

мо, що границя цієї функції при існує і дорівнює 0. Нехай , тоді для значення

. Отже, .

Відзначимо, що неперіодична функція не має границі при . Значення цієї функції коливаються між та . При наближенні до коливання функції стають все частішими (див. приклад 9, розділ 2).