2. Площина в просторі.

Нехай в просторі запроваджена прямокутна система координат. Знайдемо рівняння площини П, що проходить через задану точку і є перпендикулярною заданому ненульовому вектору (A;B;C), який називається нормальним вектором цієї площини (рис. 52).

Рис.52

Нехай – довільна точка площини П. Тоді вектори та перпендикулярні. Отже,  =0. Переходячи в останньому співвідно-шенні до координатноі форми, одержимо рівняння

. (10.3)

Рівняння (10.3) називають канонічним рівнянням площини. Розкриємо в (10.3) дужки і введемо означення D=–Ax₀ – By₀ – Cz₀. Тоді рівняння (10.3) приймає вигляд

П : Ax + By + Cz + D = 0. (10.4)

Рівняння (10.4) називається загальним рівнянням площини. Отже, будь-яку площину можна задати рівнянням першого степеня відносно координат x,y,z точки площини. Справедливе і обернене твердження: будь-яке рівняння першого степеня Ах+ By + Cz + D = 0, в якому хоча б один з коефіцієнтів А,В,С не дорівнює нулю, описує деяку площину.

В тому випадку, коли площина П задана своїми трьома точками , , , які не лежать на одній прямій, її нормальний вектор можна знайти так: (вектори та неколінеарні). Тоді рівняння площини запишеться у вигляді

Переходячи в останньому рівнянні до координатної форми, одержимо рівняння

. (10.5)

Рис.53

Зокрема, якщо площина проходить через точки , , (a,b,c відрізняються від нуля), то її рівняння має вигляд . (10. ') Рівняння (10. ') називають рівнянням площини у відрізках на осях (рис. 53).

2.1 Дослідження рівняння площини

Розглянемо деякі окремі випадки рівняння площини, Ax + By + Cz + D = 0. коли деякі коефіцієнти А, В, С,, D обертаються в нуль.

1) D=0.Рівняння має вигляд Ax + By + Cz = 0 та визначає площину, яка проходить через початок координат.

2) С=0.Загальне рівняння площини має вигляд Ax + By + D = 0.Тоді нормаль

має проекцію нуль на вісь z, отже вектор перпендикулярний осі z. Проте перпендику-лярний до заданої площини. Звідси випливає, що задана площина паралельна осі z. Аналогічно рівняння Ax + Cz + D = 0 відповідає площині паралельній осі у, а рівняння By + Cz + D = 0 площині паралельній осі х.

3. Якщо А=В=0, тобто рівняння має вигляд Cz + D = 0, тоді площина, як зазначено вище паралельна осі х та осі у, а тому паралельна площині ху (і ,отже перпендикулярна до осі z). Аналогічно площини By + D = 0 та Ax + D = 0 паралельні площинам хz та уz.

Приклад 1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки та паралельно вектору (3; –1;4).

Розв'язання.

Вектор (l;2;l) лежить в розглянутій площині, а вектор паралельний до неї. Оскільки та не пропорційні, то вектор нормалі до площини визначається у вигляді їх векторного добутку:

Тоді, згідно (10.3), шукане рівняння площини має вигляд:

9(х–2)–(у+1)– 7(z–3)=0  9х–у–7z+2=0.

Приклад 2. Обчислити об'єм піраміди, яка обмежена площиною 2х –3у+6z–12 = 0 та координатними площинами.

Рис.54

Запишемо рівняння площини у вигляді(10.5'): (рис.54). Як відомо , ,тобто од3.