Полярна система координат.

Окрім прямокутних координат хОу на площині застосовують і інші системи координат. При цьому число координат точки у всіх системах координат на площині дорівнює двом.

Полярними координатами точки М площини є:

1. довжина вектора ;

2. кут  повороту додатньої півосі Ох до вектора .

При цьому , якщо поворот проходить проти стрілки годинника, та , якщо поворот – за стрілкою годинника. Звичайно вважають або Точка О (полюс полярної системи), за означенням, має координати , .

П рямокутні координати зв'язані з полярними координатами співвідношеннями (рис.68)

Рис.68

Приклад 1. Знайти полярні координати наступних точок:

а) (-1; ); б) (- ;-1); в) (l;-l).

Розв'язання.

а) .

Оскільки точка знаходиться у другій координатній чверті, то . Отже, ;

б) . Точка лежить в третій чверті і тому . Отже, ;

в) Точка лежить в четвертій чверті. Її полярні координати

такі: , (або ).

Приклад 2. Знайти в полярній системі координат рівняння кола: а) ; б) ; в) .

Розв'язання.

а) ; б) ;

в) .

Для побудови лінії в полярній системі координат , складаємо таблицю значень в залежності від через деякий проміжок, наприклад, через , за допомогою якої будуємо криву, відкладаючи значення на відповідних радіусах. Зауважимо, що полярний радіус може приймати тільки додатні значення.

Приклад

Побудувати лінію . Записати рівняння лінії у прямокутній системі координат.

Розв’язання

Складаємо таблицю значень та , даючи значення через проміж .

	1	0.92	0.707	0.38	0	-0.38	-0.707	-0.92	-1
	2	2.04	2,158	2,36	2.67	3,05	3.48	3,85	4

	-0.92	-0.707	-0.38	0	0.38	0.707	0.92	1
	3.85	3.48	3,05	2,67	2.67	2,158	2.04	2

Зобразимо криву у полярній системі координат. Для переходу до прямокутної системи координат скористаємося співвідношеннями та Маємо такий результат: ,

, , , a=3,

Одержано еліпс з центром о та півосями a=3,

§ 10 Поверхні та лінії у просторі

1. Рівняння поверхні.

Нехай в просторі впроваджена система прямокутних координат . Так само, як це було на площині, співвідношення між значеннями координат задають поверхні та лінії у просторі.

Означення. Рівняння називається рівнянням поверхні , якщо цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки цієї поверхні і не задовольняють координати точки, яка не належить поверхні:

  .

Сфера. Одержимо рівняння сфери радіусу , центр якої знаходяться в точці . Нехай – довільна точка сфери. Тоді

, і, отже, координати довільної точки сфери задовольняють рівнянню:

. (10.1)

Навпаки, якщо трійка чисел (x;y;z) задовольняє рівнянню (10.1), то точка знаходиться на відстані R від точки і, отже, належить сфері з центром в точці та радіусом R.

Рівняння (10.1) називається канонічним рівнянням сфери з центром в точці та радіусом R.