2.Відстань від точки до прямої

Рис.10

Нехай необхідно знайти відстань від точки до прямої (рис. 10). Позначимо через , координати точки . Тоді Отже, і

відстань . Величину числа t знайдемо підстановкою координат точки в рівняння прямої:

.

Отже, (7)

Приклад 1. а) Записати канонічне рівняння прямої , яка прохо-дить через точки , та привести його до загального вигляду; б) Знайти відстань від точки до прямої .

Розв'язання. а)За формулою (6)

; б) за формулою 10) = = .

2. Взаємне розташування прямих на площині.

Рис.10.1	Нагадаємо, що кутом між прямими та називається менший з суміжних кутів, які утворені цими прямими: (рис.10.1).
Рис.10.2	Тому кут між прямими дорівнює куту  між базисними векторами прямих та , якщо , і дорівнює -, якщо (рис.10.2). При цьому базисні вектори можуть бути замінені векторами та . Отже, .

Таким чином, якщо прямі задані рівняннями (8.3), то

та

коли прямі задані рівняннями (8.1).

Зокрема

та Якщо прямі та задані рівняннями,

, ,

Є перпендикулярними, то для їх кутових коефіцієнтів виконується співвідношення оскільки .

Якщо прямі та не паралельні, то вони мають одну спільну точку. Цю точку перетину двох прямих можна знайти, розв'язавши систему, що складається з рівнянь, за допомогою яких описуються ці прямі.

Приклад 5. Задані рівняння двох сторін прямокутника та : і рівняння однієї з його діагоналей .Знайти вершини прямокутника.

Розв'язання.

З'ясуємо взаємне розташування прямих та Дві вершини прямокутника знайдемо як точки перетину прямих та з діагоналлю :

1)   ;

2)   .

Рівняння 3-ї сторони прямокутника, яка проходить через точку і є перпендикулярною до прямої будемо шукати у вигляді (8. ). Спочатку знайдемо кутовий коефіцієнт прямої :

і, отже, . Таким чином, Вершину прямокутника знайдемо як точку перетину прямих l₃ та l₂:

  .

Знайдемо рівняння четвертої сторони прямокутника, як рівняння прямої, що проходить через точку М , паралельно прямій

Четверта вершина прямокутника – точка перетину прямих l₁ та l₄:

  .

О тже, вершини прямокутника (2;1), М₂(1;8), М₃(-1;7), (4;2) (рис. 10.3).

Рис.10.3

3.Розв'язання систем лінійних нерівностей

Пряма ділить площину на дві напівплощини. Щоб розв'язати нерівність , треба взяти будь-яку точку у будь-якій на півплощині. Якщо для цієї точки нерівність виконується, то вона виконується для усіх точок цієї на півплощини. Якщо не виконуєть-ся, то розв'язком нерівності є множина точок іншої півплощини.

П риклад 2. Розв'язати нерівність .

Рис.11 Рис.11

Розв'язання. Будуємо графік прямої .Д ля точки (0;0) нерів-ність виконується. Тому розв'язок нерівно-сті заштрихована напів-площина (рис.11).

Приклад 3. Розв'язати систему нерівностей .

Розв'язання. 1.На кожній з прямих обираємо по 2 точки та будуємо графіки цих прямих

Рис.12						2. Розв'язок кожної нерівності позначаємо двома стрілками. 3. Знаходимо перетин (загальну частину) трьох напівплощин (заштрихована на рис.12). Завдання 3 Задано координати вершин трикутника ABC.

№№	A	B	C
	(3,1)	(-8,4)	(4,-5)

Знайти:

1. довжину сторони BC;

2. рівняння прямої BC;

3. рівняння висоти AD на сторону BC;

4. довжину висоти AD;

5. рівняння медіани BE;

6. точку перетину M висоти AD і медіани BE;

7. кут між прямими AD і BE;

8. навести креслення.

Розв'язання.1. =(4–(–8);–5–4)=(12;–9). = = = =15.

2.Рівняння прямої BC. В(-8,4) , С(4,-5). За формулою (6) BC: , , , , .

3. Рівняння висоти AD на сторону BC. Осскільки AD BC, то за напрямний вектор висоти AD можна взяти (формула (3)). За формулою (1), де

одержимо : , ,

4. Довжина висоти AD. За формулою (7), коли це пряма ВС, а точка =

= = .

5. Рівняння медіани BE. За формулою (3) координати точки Е середини сторони АС

, ,

За формулою (1) лля прямої/, що проходить через точку В, а

. , , , , .

6. Точка M перетину висоти AD та медіани BE це розв'язок системи рівняннь , , = = = . .

7.Кут між прямими AD і BE. Напрямні вектори , .

=