1.2.Координатний метод

Рис. 5

Перенесемо вектор параллельно самому собі так, щоб його початок збігся з початком координат. Координатами вектора називаються координати його кінця. Для вектора будемо використовувати запис або у вигляді розкладання по ортам (рис.5), по осях Ох, Оу, Оz, які утворюють ортонормований базис простору

Ортонормованість означає, що цей базис ортогональний (перпендикулярний) та нормований (складається з одиничних векторів). Інший запис останньої рівності

.

Дії над векторами , з відомими координатами здійснюються за наступними правилами:

1) ; 2) =

Теорема 1. Нехай в просторі є заданими дві точки та

. Тоді вектор має координати .

Тобто = . (1)

Р ис.6	Доведення. ; = = - - = .■ Поділ відрізка у даному відношенні Розглянемо наступну задачу. Нехай є заданими дві точки , . Потрібно знайти коорди-нати точки , якщо відомо, що вона поділяє відрізок у відношенні = (рис.7)
Рис.7		Оскільки , , то .Переходячи до радіус –векто-рів точок , одержимо .

Отже, в координатній формі будемо мати:

. (2)

Зокрема, координати середини відрізка визначаються формулою

(3)

Трьохвимірний простір, який описує властивості матерії, не дозволяє вирішувати безліч прикладних задач, що виникають на практиці.. Тому виникає необхідність вивчати простори будь-якого числа вимірів.

2.1.Простір .

Означення І. Упорядкований набір з чисел називається -вимірним арифметичним вектором і записується у вигляді рядка довжини , або стовпця висоти :

.

Числа називаються координатами вектора .

Множення на число і додавання арифметичних векторів здійснюється за такими ж правилами, що й в

Сукупність всіх -вимірних векторів з запровадженими вище операціями додавання і множення на число називають -вимірним арифметичним простором і позначають . Простори по суті справи, співпадають з сукупностями геометричних векторів прямої, площини та простору.

2.2 Лінійна залежність та незалежність системи векторів.

Нехай вектори з .

Кажуть, що вектор є лінійною комбінацією векторів з коефіцієнтами , якщо .

Означення 2. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо жоден з векторів системи не є лінійною комбінацією решти векторів. В протилежному випадку вектори називаються лінійно залежними (хоча б один з них є лінійною комбінацією решти).

Лінійна залежність векторів та означає їх пропорційність, а лінійна залежність векторів та в - їх компланарність.

Еквівалентне означення 3. Система векторів є лінійно залежною, якщо знайдуться такі числа серед яких хоча б одне не дорівнює нулю, що має місце рівність:

Якщо ж рівність (2.1) можлива лише при , то система векторів

буде лінійно незалежною. В існує система з лінійно незалежних векторів, aлe будь-яка система, що складається з більш ніж векторів, лінійно залежна.

Приклад 1. Довести, що система векторів, яка містить у собі нульовий вектор або пару пропорційних векторів, є лінійно залежною.

Розв'язання. 1) Нехай, наприклад, Тоді можна знайти лінійну комбінацію векторів системи, яка дорівнює нульовому вектору, причому не всі коефіцієнти цієї лінійної комбінації дорівнюють нулю:

2) Нехай, наприклад, . Тоді одержимо:

Приклад 2. Довести, шо система векторів

лінійно незалежна

Розв'язання. Оскільки ,то . Оскільки всі координати нульового вектора дорівнюють нулю, то . Це і означає лінійну незалежність системи векторів.

Приклад 3. Знайти в лінійну комбінацію векторів

Розв'язання. Маємо:

Отже, система векторів лінійно залежна. Будь-який з векторів системи є лінійною комбінацією інших:

Відзначимо, що будь-які два вектори цієї системи лінійно незалежні, бо вони неколінеарні (дійсно, якщо, наприклад, , то повинна мати розв'язок система:

Але ця система рівнянь розв’ язку не має).

Приклад 4. З'ясувати, чи є вектори лінійно залежними:

а)

Розв'язання. Складаємо векторну рівність . Відповідні рівності для координат утворюють систему рівнянь

, для якої .

Рівність нулю визначника означає, що у матриці системи два рядки пропорційні. Розв'язуємо систему методом Гаусса.

. Система має нескінченну кількість розв'язків. Візьмемо, наприклад, =1, тоді її розв'язок (-1;2;1). Показано, що існують числа = -1, =2, =1, які , але лінійна комбінація , звідки випливає, що вектори лінійно залежні.

б)

Розв'язання. (*)

. Для системи (*)

= = =0 вектори лінійно незалежні.