5. Зведення рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду
Обмежимося рівнянням вигляду:
,
(6.9)
в якому
принаймні один з коефіцієнтів а
,а2
відмінний від нуля.
Припускаємо, що рівняння (6.9) визначає невироджену криву 2-го порядку: еліпс, гіперболу, параболу. Випадок виродженої кривої: пряма, пара паралельних або пересічних прямих не розглядаємо
Подібно
до рівняння кола з центром у точці (
)
канонічне рівняння еліпса та гіперболи з центром у точці ( )
,
,
(6.10)
а канонічні рівняння параболи з вершиною у точці ( )
,
(вісь параболи
)
(6.11)
,
(вісь параболи
)
. (6.12)
Вісь параболи відповідає змінній, яка у рівняннях (6.11)-(6.12) у другому степені. Приведення рівняння (6.9) до канонічного вигляду розглянемо на прикладах.
Приклад 6. Привести рівняння кривої до канонічного вигляду, визначити
тип кривої та побудувати ескіз її графіку:
а)
б)
в)
г)
.
Розв’язання.а)1.
Групуємо доданки, які містять тільки
та тільки
,
доповнюємо їх до повного квадрату та
зводимо до вигляду (6.10)-(6.12):
=
=
+36–
–36=0
.
Отримано гіперболу з центром у точці
(
)=(2;–3)
та півосями
,
.
2. Будуємо для еліпса та гіперболи прямокутник П з центром у точці ( ), а потім ескіз графіку (рис.22,а).
б)
1. Робимо як у прикладі 6,а):
.
2, Еліпс з центром у точці (
)=(–1;2)
та півосями
,
(рис.22,в).
а
|
б в г Рис. 22 |
в)
–
парабола,
вісь
,
2р=4,
р=2,
Вершина (
)=(–3;-5)
(рис.22,б)
г)
–
парабола,
вісь у=2, 2р=–4,
р=–2,
Вершина (
)=(1;2)
(рис.22,г)