3. Гіпербола

Дамо геометричне означення гіперболи. Нехай на площині вказані дві точки F₁ та F₂, відстань |F₁F₂| поміж якими дорівнює 2с.

Означення 2. Гіперболою називається множина точок М площини, різниця відстані від яких до точок F₁ та F₂ дорівнює

±2а :

. (6.5)

Точки F₁ та F₂ називаються фокусами гіперболи.

Для отримання рівняння гіперболи впровадимо в розгляд систему координат тим же чином, що і у випадку еліпса (рис.16). Повторюючи, по суті справи, викладки, які були наведені для еліпса, одержимо рівняння Введемо позначення і поділимо ліву та праву частини останнього рівняння на а²b². Приходимо до рівняння

. (6.6)

яке називається канонічним (стандартним) рівнянням гіперболи.

Гіпербола симетрична відносно осей координат. Гіпербола перетинається з віссю Ох в точках А₁(а;0) та А₂(-а;0) і не перетинається з віссю Оу. Точки А₁ та називаються вершинами гіперболи. Гіпербола розпадається на дві вітки (знак "+" в (6.6) відповідає лівій вітці, а знак "-" – правій). Прямі у = ± х, на яких лежать діагоналі прямокутника П={-a x  a, -b  y  b}, називаються асимптотами гіперболи. Число називається ексцентриситетом гіперболи. . Гіперболи подібні, якщо у них одинакові ексцентриситети. Можна показати, що дотична до гіперболи в точці М₀ є бісектрисою кута F₂M₀F₁. Цей факт виражає "оптичну властивість" гіперболи: якщо в одному фокусі помістити точкове джерело світла, то npoмені, відбиваючись дзеркально від гіперболи, здаються такими, що виходять з другого фокуса (рис. 16.1).

Рис.16

Рис.16.1

Міжпланетні станції вирушають у політ по гіперболічним орбітам (відносно Землі), потім вони рухаються по еліптичним (відносно Сонця) орбітам в напрямку до вивчаємої планети, назавжди залишаючи Сонячну систему.

Приклад 3.Скласти рівняння гіперболи, фо-куси якої лежать на вісі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо точки та належать гіперболі. Визначити ексцентриситет гіперболи та координати її фокусів Розв'язання. Шукане рівняння гіперболи має вигляд . Оскільки координати точок та задовольняють рівнянню гіперболи, то  Отже , 1) рівняння гіперболи: ;

2) ексцентриситет ;

3) .

Приклад 4. Побудувати гіперболу у² -4х² = 16 та її асимптоти.

Знайти фокуси і ексцентриситет гіперболи.

Розв'язання. Розглядуване рівняння здобувається з канонічного шля-хом заміни x на у та у на х, Фокуси гіперболи лежать не на вісі Ох, а на вісі Оу (рис.18). Зведемо рівняння гіперболи до канонічного вигляду:

Рис.18

Оскільки то Фокуси гіперболи та . Ексцентриситет . В нашому випадку

рівняння асимптот мають вигляд . Взагалі, гіпербола називається спряженою до гіперболи (6.7)