ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ БУДІВЕЛЬНИКІВ

Е.З. Могульський, Г.П.Бородай

І. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ТА АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

§1 Матриці

1.Термінологія

Матрицею розмірів називається прямокутна таблиця чисел:

.

Числа називаються елементами матриці. У випадку, коли матриця А називається квадратною (poзміру n), а при прямокутною. Матриця розміру називається матрицею-рядком, а матриця poзмipy - матрицею-стовпцем.

Іноді для матриці А використовують такий запис: . Числа при фіксованому утворюють -й рядок матриці , а числа при фіксованому її -й стовпець. Елементи утворюють головну діагональ квадратної матриці . Якщо у квадратної матриці всі елементи, що розташовані не на головн1й діагоналі дорівнюють нулю, то матриця називається діагональною. Якщо у квадратної матриці вci елементи, які розташовані нижче (вище) головної діагоналі дорівнюють нулю, то ця матриця називається верхньотрикутною (нижньотрикутною). Якщо вci елементи головної діагоналі діагональної матриці дорівнюють одиниці, то матриця називається одиничною. Для одиничноі матриці -го порядку використовують, як правило, позначення

Прнклад 1. а) Матриця є квадратною матрицею 3-го порядку (розм. );

б) Матриця є прямокутною матрицею poзміру ;

в) Матриця є матрицею-стовпцем розміру , а матриця - матрицею-рядком розміру ;

г) Матриці є відповідно нижньо- таі верхньотрикутною;

д) Матриця - одинична третього порядку.

Транспонованою до матриці називається матриця , стовпці якої є рядками матриці А з тими ж номерами.

Квадратна матриця А називається симетричною, якщо , тобто .

Приклад 2. Знайти матриці транспоновані до поданих:

а) б) , в)

Розв'язання. а) б) , в)

2. Дії над матрицями.

1) Нехай - дві матриці однакового розміру.

Сумою матриць називається матриця того ж розміру з елементами .

2) Добутком матриці А на число t є матриця С того ж

розміру з елементами

.

Приклад 3 . Знайти .

Розв'язання.

3) Нехай задані матриця розміру і матриця роміру .

Добутком матриці A на матрицю B називається матриця розміру , така, що

Інакше кажучи, для отримання елемента матриці добутку, розташованого в -му рядку і -му стовпці, треба знайти суму попарних добутків елементів -го рядка матриці на елементи -го стовпця матриці (рис. 20).

.

Рис. 20

Відзначимо, що операція множення матриць, взагалі кажучи, не має комутативної властивості: . Можуть зустрічатися такі випадки:

1. добуток визначено, а ні ;

2. мають різні розміри ;

3. мають однакові розміри , але відрізняються. Якщо , то матриці називаються перестановочними.

Приклад 4. Знайти добуток С матриць та , де

.Розв'язання. ,

= , = , …, = ,

= =

Приклад 5. Знайти добутки та , де :

а) ; б) .

в) , ..

Розв'язання. а) не визначена.

б)

(добуток нижньотрикутних матриць є матриця нижньотрикутна).

в)

§ 2 Визначники

Кожній квадратній матриці однозначно зіставляється деяке число, яке

називається визначником матриці. Для визначника матриці А

використовується одне з двох позначень: або .