3.2 Расчет среднестатистической и максимально вероятности

осевых нагрузок и

Статистическая совокупность сил, измеренных на участке, представлена в таблице №14.

Таблица №14. Статистическая совокупность сил, измеренных на участке

№ п/п	Результат измерения	№ п/п	Результат измерения	№ п/п	Результат измерения	№ п/п	Результат измерения	№ п/п	Результат измерения	№ п/п	Результат измерения	№ п/п	Результат измерения	№ п/п	Результат измерения
1	10	11	12	21	27	31	19	41	19	51	24	61	23	71	25
2	10	12	15	22	24	32	19	42	17	52	23	62	21	72	25
3	14	13	14	23	22	33	18	43	20	53	21	63	17	73	19
4	13	14	30	24	23	34	23	44	18	54	11	64	16	74	25
5	15	15	29	25	21	35	21	45	22	55	15	65	17	75	17
6	12	16	28	26	16	36	21	46	22	56	14	66	23	76	17
7	13	17	27	27	16	37	21	47	9	57	32	67	20	77	19
8	16	18	27	28	24	38	19	48	10	58	29	68	20	78	17
9	19	19	27	29	25	39	18	49	13	59	26	69	21	79	17
10	18	20	24	30	22	40	18	50	13	60	26	70	19	80	15

Полученные значения случайной величины называются простой статистической совокупностью.

Для того чтобы установить закономерность исследуемой величины и ее характеристики, простая статистическая совокупность подвергается обработке, которая заключается в следующем:

1. Все данные располагаются в порядке возрастания или убывания значений случайной величины. Получается так называемый вариационный ряд. Данные приведенного выше результата измерения, расположенные в порядке возрастания, представлены в таблице № 15.

Таблица №15. Вариационный ряд сил, измеренных на участке

1	9	11	13	21	16	31	18	41	19	51	21	61	23	71	26
2	10	12	14	22	16	32	18	42	19	52	21	62	24	72	27
3	10	13	14	23	17	33	18	43	20	53	22	63	24	73	27
4	10	14	14	24	17	34	18	44	20	54	22	64	24	74	27
5	11	15	15	25	17	35	19	45	20	55	22	65	24	75	27
6	12	16	15	26	17	36	19	46	21	56	22	66	25	76	28
7	12	17	15	27	17	37	19	47	21	57	23	67	25	77	29
8	13	18	15	28	17	38	19	48	21	58	23	68	25	78	29
9	13	19	16	29	17	39	19	49	21	59	23	69	25	79	30
10	13	20	16	30	18	40	19	50	21	60	23	70	26	80	32

2. Данные вариационного ряда разбиваются на группы (разряды). Число разрядов зависит от объемов выборки. Практика показывает, что в большинстве случаев целесообразно выбирать число разрядов порядка 10-20. Величина интервала разряда зависит от размаха колебаний случайной величины и минимальных интервалов. Проще брать разряды одинаковыми по величине интервала. Крайние значения случайной величины при небольшом числе данных обычно объединяются в один – два разряда с увеличенным интервалом.

Величина интервала определяется по формуле:

,где

		-	число разрядов;
	и	-	максимальное и минимальное значение случайной величины в вариационном ряду.

Число разрядов примем равным ₌ 12.

;

.

.

3. По вариационному ряду в каждом разряде подсчитывается число наблюдений (частоты), затем определяем значение частости:

,где

		-	частость, выражает статистическую вероятность того, что случайная величина окажется в j-ом разряде;
		-	частота или число наблюдений в j-ом разряде;
		-	номер разряда;

4. Полученные значения разрядов частот и частостей оформляются в виде статистического ряда, который приведен в таблице 16.

Таблица №16. Статистический ряд случайных величин

Номер разряда	Значение промежутков в разряде,	Среднее значение промежутка,	Частота,	Частость,
1	[9-10)	9,5	1	0,0125
2	[10-12)	11	4	0,0500
3	[12-14)	13	6	0,0750
4	[14-16)	15	7	0,0875
5	[16-18)	17	11	0,1375
6	[18-20)	19	13	0,1625
7	[20-22)	21	10	0,1250
8	[22-24)	23	9	0,1125
9	[24-26)	25	8	0,1000
10	[26-28)	27	6	0,0750
11	[28-30)	29	3	0,0375
12	[30-32]	31	2	0,0250
ИТОГО:			80	1,0

5. Для наглядности статистическое распределение случайной величины изображается гистограммой, которая представляет собой графическое изображение статистического ряда.

Соединив середины верхних сторон прямоугольников, получим многоугольник распределения случайной величины.

На рисунке 7 представлена гистограмма и многоугольник распределения по данным статистического ряда.

Рисунок 7. Гистограмма и многоугольник распределения по данным теоретического ряда

Вывод: Из гистограммы видно, что статистический ряд распределяется неравномерно,но можно также установить,что частота постепенно увеличивается к середине и дальше идет на спад.

6. По данным статистического ряда определяются числовые характеристики простой статистической совокупности:

-первый начальный момент или статистическое среднее:

Среднее значение промежутка определяется по формуле:

-статистическая дисперсия:

,где

статистический второй момент.

Статистический второй момент определяется по формуле:

-статистическое среднее квадратическое отклонение:

Расчет описанных выше характеристик произведен в табличной форме и представлен в таблице №17.

Таблица №17. Определение числовых характеристик простой статистической совокупности

Номер разряда	Значение промежутков в разряде,	Среднее значение промежутка,	Частость,
1	[9-10)	9,5	0,0125	0,1188	1,1281
2	[10-12)	11	0,0500	0,5500	6,0500
3	[12-14)	13	0,0750	0,9750	12,6750
4	[14-16)	15	0,0875	1,3125	19,6875
5	[16-18)	17	0,1375	2,3375	39,7375
6	[18-20)	19	0,1625	3,0870	58,6625
7	[20-22)	21	0,1250	2,6250	55,1250
8	[22-24)	23	0,1125	2,5875	59,5125
9	[24-26)	25	0,1000	2,5000	62,5000
10	[26-28)	27	0,0750	2,0250	54,6750
11	[28-30)	29	0,0375	1,0875	31,5375
12	[30-32]	31	0,0250	0,7750	24,0250
ИТОГО:			1,0	19,9808	425,3156

При подстановке полученных результатов получим:

тс

(тс)

тс

После этого производят выравнивание статистического ряда и проводят оценку согласования теоретического и статистического распределения.

Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствует элемент случайности, связанный с тем, что число измерений ограничено, что недостаточно корректно произведены измерения и др. На практике необходимо считаться с тем, что любому статистическому распределению свойственны элементы случайности. Поэтому при обработке статистического материала часто приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую распределения, выражающую лишь существенные черты статистического материала. Такая задача называется задачей выравнивания (сглаживания) статистических рядов.

Подбор закона распределения с достаточной точностью описывающего распределение случайной величины производят исходя из физической сущности исследуемого процесса или явления. Дополнительными признаками могут служить внешний вид гистограммы или многоугольника распределения и значения числовых характеристик статистического распределения случайной величины.

Так, для нормального распределения все рассеивания (с точностью до 0,1%) укладываются на участке , для экспоненциального (показательного) распределения , а для пуассоновского распределения .

Для рассматриваемой статистической совокупности гистограмма или многоугольник распределения имеют вид, приведенный на рисунке 5. По их внешнему виду можно предположить, что осевые нагрузки можно описать нормальным законом распределения.

Для проверки гипотезы о законе распределения измеряемой случайной величины производят расчет координат теоретической кривой распределения и проверку ее согласия со статистическим распределением.

Координаты теоретической кривой распределения рассчитываются для граничных значений разрядов статистического ряда по его числовым характеристикам путем нахождения вероятности попадания измеряемой величины в определенный интервал.

Для нормального закона распределения измеряемой случайной величины Х вероятность попадания ее в i-ый интервал определяется по формуле:

,где

		-	соответственно нижняя и верхняя границы значений случайной величины в j-ом разряде статистического ряда;
		-	стандартная функция Лапласа, значения которой затабулированы в зависимости от .

,где

-

номер разряда статистического ряда.

Частоты теоретического распределения случайной величины определяются как:

Все расчеты сведены в таблицу № 18.

Таблица №18.Расчет вероятности попадания случайной величины в

i-ый интервал

Номер разряда	Значение промежутков в разряде,
		9	-2,2	-0,4861		-		-		-		-		-
1	[9-10)	10	-2	-0,4772		0,0089		0,0125		1		1		0
2	[10-12)	12	-1,6	-0,4452		0,0320		0,0500		3		4		0,33
3	[12-14)	14	-1,2	-0,3849		0,0603		0,0750		5		6		0,20
4	[14-16)	16	-0,8	-0,2881		0,0968		0,0875		8		7		0,13
5	[16-18)	18	-0,4	-0,1554		0,1327		0,1375		11		11		0
6	[18-20)	20	0	0,0000		0,1554		0,1625		12		13		0,08
7	[20-22)	22	0,4	0,1554		0,1554		0,1250		12		10		0,33
8	[22-24)	24	0,8	0,2881		0,1327		0,1125		11		9		0,36
9	[24-26)	26	1,2	0,3849		0,0968		0,1000		8		8		0
10	[26-28)	28	1,6	0,4452		0,0603		0,0750		5		6		0,2
11	[28-30)	30	2	0,4772		0,0320		0,0375		3		3		0
12	[30-32]	32	2,4	0,4918		0,0146		0,0250		1		2		1
ИТОГО:					0,9779		1,0		80		80		2,63

Примечание: - частость теоретического ряда.

На рисунке 8 представлена гистограмма и многоугольник распределения по данным статистического ряда.

Рисунок 8.Гистограмма и многоугольник распределения по данным статистического ряда

Вывод: Многоугольник распределения имеет форму симметричного «колокола» (частость постепенно увеличивается до середины и потом плавно уменьшается), что свидетельствует о правильности ряда для нормального закона распределения.

Между теоретической и статистической кривыми распределения случайной величины неизбежны расхождения. Они могут вызываться случайными отклонениями и колебаниями измеряемой величины и другими факторами, которые не были учтены в теоретическом распределении. Эти отклонения могут быть также вызваны неудачным подбором теоретической кривой распределения.

Вопрос согласования теоретического и статистического распределения решается с помощью «критериев согласия».

Наиболее распространенным в практике измерений является критерий Пирсона. При проверке согласованности теоретического и статистического распределения по критерию Пирсона выполняются следующие операции:

1. Подсчитывается величина по формуле:

2. Определяем число степеней свободы R:

где		-	число разрядов статистического ряда;
		-	число наложенных связей или количество числовых характеристик статистического распределения, используемых при расчете координат теоретической кривой распределения.

Для нормального распределения:

.

3. Для значения и R по таблице распределения Пирсона определяется вероятность так, что отклонения между теоретическим и статистическим распределением вызваны случайным колебанием измеряемой величины в выборке. Для данного примера , . Правило Романовского значительно облегчает применение согласия Пирсона для оценки расхождения между теоретическим и статистическим распределением.

Согласно этому правилу, если:

то согласование теоретического и статистического распределений можно считать хорошим.

В нашем случае имеем:

Это свидетельствует о хорошей сходимости теоретического и статического распределения.

Вывод: В ходе расчета было произведено сглаживание статистического ряда, с целью минимизации эффекта случайности. Также была произведена оценка расхождения между теоретическим и статистическим распределением. Оценочное условие выполняется, что свидетельствует о достоверности результатов.

После того, как была проверена правильность выбора закона распределения, определим максимальную вероятную осевую нагрузку.

Максимальная вероятная осевая нагрузка, , определяется по формуле:

тс

Отказы рельсов в зависимости от пропущенного тоннажа равны:

,

Для прямого участка пути:

;

Для кривой заданного радиуса:

Примем шаг расчета наработки тоннажа млн.т брутто. Расчеты представлены в таблице № 19.

Таблица №19.Отказы рельсов в зависимости от пропущенного тоннажа.

тоннаж, млн. т брутто	прямой участок пути	кривая заданного радиуса
0	0	0
50	0,28	0,96
100	1,11	3,85
150	2,49	8,67
200	4,43	-
250	6,93	-

Дальнейшее увеличение пропущенного тоннажа не производиться, так как:

-на прямом участке пути уже при наработке тоннажа 250 млн.т брутто наблюдается превышение допускаемого количества одиночных отказов рельсов, ;

- на участке пути с кривой заданного радиуса при наработке тоннажа 150 млн.т брутто уже наблюдается превышение допускаемого количества одиночных отказов рельсов, ;

На основании расчетов по определению отказов рельсов строим график зависимости отказов рельсов от пропущенного тоннажа. График представлен на рисунке 9.

Рисунок 9.График зависимости отказов рельсов от пропущенного тоннажа

Вывод: С увеличением наработки тоннажа, увеличивается одиночный выход рельсов на километр,при этом на прямом участке пути при достижении наработки тоннажа 250 млн.т брутто наступает превышение допускаемого количества одиночных отказов рельсов на км ,а на участке с кривой заданного рельса превышение наступает уже при 150 млн.т брутто.

Наработка тоннажа, при которой количество отказов рельсов будет равно допускаемому, определяется по формуле:

Ресурс в годах между сплошными обновлениями пути будет составлять:

Количество одиночных отказов рельсов за последний год перед капитальным ремонтом пути будет составлять:

Расчеты для прямого участка пути и для участка:с кривой заданного радиуса приведены в таблице №20.

Таблица №20.Расчетные данные

	Прямой участок пути	Кривая заданного радиуса
T	232,704	124,776
t	15,51	8,32
∆h	0,57	1,05

Вывод: В результате расчета были получены значения наработки тоннажа при допускаемом количестве одиночных отказов рельсов, ресурс в годах между сплошным обновлением пути и количество одиночных отказов рельсов за последний год перед капитальным ремонтом. Благодаря этому можно планировать ремонтные работы и по сроку службы пути, определять потребности в элементах верхнего строения пути.

Общий вывод по III части курсового проекта: В третьей части курсового проекта представлена методика расчета отказов пути. Сами алгоритмы расчетом максимально упрошены, что позволяет производить его за небольшой промежуток времени.