9.3. Решение задач оптимального проектирования

9.3.1. Оптимизация параметров изделия

Каждый объект проектирования характеризуется структурой и параметрами. Структура, которая определяет элементы объекта проектирования и связи между ними, должна обеспечить надежное функционирование и достижение поставленных целей. Надо сказать, что понятие объекта проектирования и элемента является в известной степени относительным. Например, с точки зрения организации дорожного движения автомобиль представляет собой элемент, в то время как для завода автомобиль — объект проектирования, а его составляющие — двигатель, ходовая часть и т. д. — это элементы. В дальнейшем под элементом будем понимать такую составляющую объекта проектирования, структуру которой не будем рассматривать. Такую элементарную составляющую будем называть звеном. Каждое звено характеризуется своими параметрами.

После введения этих понятий перейдем к рассмотрению задачи оптимизации параметров изделия. Эта работа производится по следующему алгоритму.

Алгоритм 9.3.1. Последовательность работ при оптимизации параметров изделия

1. Установить назначение изделия и его параметры.

2. Определить структуру изделия и зависимость параметров изделия от параметров звеньев.

3. Сформулировать задачу оптимизации.

4. Определить необходимые данные.

5. Записать задачу оптимизации в форме, необходимой для решения.

6. Решить задачу оптимизации.

7. Выполнить анализ решения задачи.

Этот алгоритм проиллюстрируем на следующем примере.

1. Назначение изделия, его параметры и структура.

Будем рассматривать проектирование изделия, предназначенного для преобразования информации. Принимаем, что это изделие характеризуется двумя параметрами:

техническим: Р — вероятностью безотказной работы;

экономическим: С — ценой изделия.

2. Структура изделия приведена на рис. 9.3.1, из которого видно, что изделие состоит из трех звеньев. Зависимости параметров изделия от параметров звеньев имеют вид:

Р = p₁ p₂ p_3, (9.3.1)

С = c₁ + c₂ + c_3. (9.3.2)

Рис. 9.3.1

3. Постановка задачи оптимизации.

Как мы знаем, возможны две постановки задач оптимального проектирования: (9.1.1) и (9.1.2). Наша задача в первой постановке имеет вид:

(9.3.3)

во второй постановке:

(9.3.4)

4. определение необходимых исходных данных.

Как следует из (9.3.3), (9.3.4), для решения задачи оптимизации необходимо знать для каждого звена зависимости

p_i = f₄(c_i). (9.3.5)

Посмотрим, как можно определить искомые зависимости.

Для определения зависимостей (9.3.5) следует:

• иметь статистические значения p_i, c_i;

• принять вид зависимостей (9.3.5);

• c помощью методов, рассмотренных в 9.2, определить искомые зависимости как уравнения регрессии.

Выполним эти работы.

1. Статистические исходные данные приведены на рис. 9.3.2. Для 1-го звена в ячейках А5:В11, для 2-го звена — в F5:G16, для 3-го звена — в К5:L14.

Рис. 9.3.2

2. Принять вид аналитической зависимости p_i = f₄(c_i). Так как вероятность безотказной работы может находиться в пределах

0 Ј p_i Ј 1,

функцию f₄ (c_i ) определим в виде

p_i = 1  exp(c_i). (9.3.6)

3. Определение уравнений регрессии.

Поскольку (9.3.6) представляет собой уравнение нелинейной регрессии, найдем коэффициенты этого уравнения по методике, изложенной в 9.2.4, — определение уравнения нелинейной регрессии в форме пользователя. Для этого выполним следующие преобразования.

Из (9.3.6) следует

1  p_i = exp(c_i),

ln(1  p_i) = c_i. (9.3.7)

Учитывая, что в обозначениях, принятых в разделе 9.2.4, функцией y_i является

y_i = ln(1  p_i),

а аргументом x_i = c_i, с помощью функции ЛИНЕЙН( ) находим уравнения линейной регрессии по алгоритму, приведенному в разделе 9.2.4. После несложных преобразований (рис. 9.3.2) определяем искомые уравнения регрессии:

(9.3.8)

В целях наглядности представим зависимости (9.3.8) графически. Для этого по методике, описанной в разделе 9.2.6, получены табличные значения (рис. 9.3.3) уравнений регрессии (9.3.8) и их графики (рис. 9.3.4).

Рис. 9.3.3

Рис. 9.3.4

5. Запись задачи оптимизации в форме, необходимой для ее решения.

Задачу будем решать во второй постановке

(9.3.9)

Для решения задачи введем нижние границы переменных:

p₁  0,7; p₂  0,7; p₃  0,7.

Условия решаемой задачи при С_зад= 1500 приведены на рис. 9.3.5.

Рис. 9.3.5

6. Решение задачи оптимизации.

Система (9.3.9) является задачей нелинейного программирования, решение которой было рассмотрено в главе 5. Результат решения задачи представлен на рис. 9.3.6.

Рис. 9.3.6

7. Анализ решаемой задачи.

После получения решения можно выполнить все возможные виды анализа, которые уже неоднократно рассматривались. В качестве примера анализа проведем параметрирование по стоимости. Результат анализа после редактирования Итогового сценария и график полученной зависимости вероятности от стоимости приведены на рис. 9.3.7. График помогает принимать решение при выборе оптимальных параметров.

Рис. 9.3.7