1.2. Многочлены.

Функция , где – целое неотрицательное число, коэффициенты – действительные или комплексные числа, называется многочленом (полиномом) или целой рациональной функцией от . Число называется степенью многочлена. Независимая переменная может принимать как действительные, так и комплексные значения. Корнем или нулем многочлена называется такое значение переменной , при котором многочлен обращается в ноль, т.е. . Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.

Многочлены можно складывать, вычитать, умножать и делить с остатком или без остатка. Деление многочленов выполняется по правилу, аналогичному правилу деления чисел.

Пример 1.4. Разделить многочлен на многочлен .

Решение.

Операция деления начинается с деления старших членов делимого и делителя: . Результат записываем в частное; умножаем делитель на и полученный результат вычитаем из делимого. Получаем первый остаток: . Далее действия повторяются, только в качестве делимого выступает первый остаток: его старший член делим на старший член делителя: , дописываем результат деления в частное, умножаем делитель на и результат умножения вычитаем из первого остатка, получая при этом второй остаток . Описанные действия повторяются до тех пор, пока степень полинома, который получается в остатке, не станет меньше степени делителя, либо остаток окажется равным нулю. В приведенном примере деление закончилось, когда остаток стал равным , т.е полиномом первой степени, а делителем является полином второй степени. Результат деления можно записать следующим образом:

или

.

► Разделите многочлен на многочлен .

Важную роль в теории многочленов играет теорема Безу: остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Следствие: число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда он делится без остатка на двучлен и, следовательно, представляется в виде произведения ,

где – многочлен степени .

Основная теорема алгебры гласит: всякая целая рациональная функция имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Пользуясь этой теоремой, легко доказать утверждение: всякий многочлен степени можно представить в виде

. (1.4)

Из разложения (1.4) следует, что суть корни многочлена . Из этого же разложения вытекает, что многочлен степени имеет ровно корней (действительных или комплексных).

Значения этих корней связаны с коэффициентами многочлена (уравнения ) следующими формулами Виста (если ):

,

,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,

,

.

В частном случае, для приведенного квадратного уравнения формулы Виста принимают вид :

или , т.е. произведение корней равно свободному члену, а сумма корней равна коэффициенту при с обратным знаком.

►Разложить многочлен на линейные множители.

Если в разложении (1.4) некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид

,

при этом . В этом случае корень называется корнем кратности или - кратным корнем, - корнем кратности и т.д.

Имеет место следующее утверждение: если является корнем многочлена кратности , то он является корнем кратности производной , корнем кратности производной второго порядка корнем кратности 1 (простым корнем) производной и не является корнем производной , т.е. .

Справедливо следующее утверждение: если число является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то и число также является его корнем.

Из этого утверждения следует: многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители с действительными коэффициентами первой и второй степени соответствующей кратности, т.е. ;

здесь .

Пример 1.5. Разложить на простейшие (линейные) множители многочлен .

Решение. Для разложения многочлена на множители достаточно знать его корни. Известно, что любой целый корень приведенного многочлена (со старшим коэффициентом равным 1) с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. Следовательно, если заданный многочлен имеет целые корни, то они являются делителями 10, т.е. находятся в множестве чисел .

,

, следовательно является корнем заданного многочлена: . Разделим на :

0

Таким образом

.

Ответ: .

Пример 1.6. Разложить на простейшие множители с действительными коэффициентами многочлен .

Решение. , т.е. первый корень . Разделив на , получаем .

Обозначим

, следовательно, второй корень . Разделим на и получим:

, т.е.

.

Найдем теперь корни квадратного трехчлена .

. Следовательно, многочлен имеет комплексные корни и поэтому на линейные множители с действительными коэффициентами не разлагается.

Ответ: