1. Элементы высшей алгебры
1.1. Комплексные числа
Комплексным числом
называется выражение вида
,
где
и
- действительные числа,
- мнимая единица, определяемая равенством
или
:
; (1.1)
называется
действительной или вещественной частью
комплексного числа
;
называется его мнимой частью. В технической
литературе применяется также обозначение
.
Если
,
то число
называется чисто мнимым; если же
,
то
,
т.е. получаем действительное число.
Комплексные числа
и
называются сопряженными.
► Приведите пример комплексного числа, чисто мнимого числа, действительного числа.
► Запишите числа,
сопряженные к
.
Два комплексных
числа
и
называются равными, если
,
,
т.е. если равны их действительные и
мнимые части. Комплексное число
равно нулю тогда и только тогда, когда
и
.
Выражение (1.1) называется алгебраической
формой комплексного числа.
Арифметические действия с комплексными числами в алгебраической форме осуществляются следующим образом.
Суммой (разностью)
комплексных чисел
и
называется число
(
).
Произведением
комплексных чисел
и
называется число
.
Частным от деления
комплексного числа
на комплексное число
называется число
.
► Даны два
комплексных числа
и
.
Укажите их действительные и мнимые
части. Найдите их сумму, разность,
произведение и частное и запишите
сопряженные к ним комплексные числа.
Отметим, что действия с комплексными числами в алгебраической форме выполняются как с многочленами с учетом того, что .
Пример 1.1.
Решить уравнение
и проверить правильность полученного
результата.
Решение.
Проверка.
1)
2)
Следовательно, задача решена верно.
Заметим: если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то оно имеет комплексные корни, причем корни являются сопряженными, как и показывает предыдущий пример.
Комплексное число
можно изобразить точкой
с координатами
и
или вектором
также с координатами
и
.
Рис. 1.1.
Тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел.
Обозначим через
и
полярные координаты точки
,
считая начало координат полюсом, а
положительное направление оси
– полярной осью. Тогда
(рис. 1) можно записать
и
или
(1.2)
Выражение, стоящее справа в формуле (1.2), называется тригонометрической формой записи комплексного числа; называется модулем комплексного числа, а – его аргументом; они обозначаются следующим образом:
,
при этом
,
.
Аргумент комплексного
числа считается положительным, если он
отсчитывается от положительного
направления оси
против часовой стрелки, и отрицательным,
если он отсчитывается по часовой стрелке.
Аргумент комплексного числа определяется
не однозначно, а с точностью до слагаемого
,
где
-
любое целое число. Обычно используется
главное значение аргумента
,
определяемое дополнительными условиями
или
.
В дальнейшем, для определенности, будем
считать, что
.
Если воспользоваться формулой Эйлера
,
то из тригонометрической формы (1.2) записи комплексного числа получаем показательную форму записи комплексного числа
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа особенно удобны при умножении, делении, возведении в степень комплексных чисел и извлечении корня из комплексного числа.
Пусть
,
.
Тогда
,
.
► Найти действительную и мнимую части комплексного числа
.
Ответ:
.
Возведение в степень комплексного числа и извлечение корня из него производится по формуле Муавра:
(1.3)
З
амечание.
При переходе от алгебраической формы
записи комплексного числа к
тригонометрической удобно пользоваться
следующим правилом: обозначим
;
тогда
,
если комплексное число находится в
первой четверти;
для комплексного числа
,
находящегося во второй четверти; для
комплексных чисел, находящихся в третьей
и четвертой четвертях, соответственно
и
(рис. 2).
Рис. 1.2.
► Изобразите
графически комплексные числа
и вычислите их модули и аргументы.
Пример 1.2.
Дано:
.
Найти:
.
Решение.
1)
;
2)
3)
;
4) Обозначим
;
.
Чтобы воспользоваться формулой Муавра
п
Рис. 1.3.
;
;
5) Обозначим
,
.
В соответствии с формулой
число
предварительно следует представить в
тригонометрической форме.
Рис. 1.4.
Отметим, что все
значения корня имеют одинаковый модуль,
равный
,
т.е они расположены на окружности радиуса
,
а их аргументы отличаются на
.
Рис. 1.5.
Пример 1.3. Решить уравнение
,
считая
и
действительными числами, и сделать
проверку.
Решение.
;
.
Известно, что комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Поэтому для и получаем систему уравнений
.
.
Можно применить правило Крамера:
.
;
;
.
Проверка.
,
следовательно уравнение решено верно.