5. Статистические моменты и координаты центра масс плоской фигуры
Напомним, что
статистические моменты материальной
точки с массой
,
помещенной в точку
,
относительно оси
и оси
равны соответственно произведениям
и
.
Рассмотрим
материальную плоскую фигуру (пластинку),
ограниченную линиями
,
,
,
,
.
Поверхностную плотность фигуры, т.е.
массу единицы площади поверхности
фигуры будем считать постоянной и равной
.
Такая пластика называется однородной.
Тогда масса
этой пластики вычисляется по формуле
,
(3.17)
а ее статистические моменты относительно осей координат по формулам
,.
(3.18)
Центром масс
пластинки называется такая ее точка
,
для которой
;
.
Отсюда, с учетом равенства (3.17) и (3.18), получаем формулы, по которым вычисляются координаты центра масс однородной пластинки:
,
.
(3.19)
► Перечислите механические приложения определенного интеграла и укажите соответствующие формулы.
Пример 3.10.Найти
координаты центра масс однородной
пластинки, ограниченной линиями
,
.
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулами (3.19), в которых положим
.
,
.
Вспомогательные вычисления.
,
,
.
Используя эти результаты, получим:
.
4. Задания для контрольных и расчетно-графических работ.
I. Решить уравнение. Сделать проверку. Изобразить корни уравнения на комплексной плоскости.
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29. |
2.
4.
6.
8.
10.
12. 14.
16.
18.
20.
22.
24.
26.
28.
30.
|
II. Даны числа
.
Найти:
;
;
;
.
найти, используя
тригонометрическую и показательную
формы числа
.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
25.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
III. Решить уравнение, считая и действительными числами. Сделать проверку.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
IV. Разложить многочлен на простейшие множители с действительными коэффициентами.
1. а)
;
б)
.
2. а)
;
б)
.
3. а)
;
б)
.
4. а)
;
б)
.
5. а)
;
б)
.
6. а)
;
б)
.
7. а)
;
б)
.
8. а)
;
б)
.
9. а)
;
б)
.
10. а)
;
б)
.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14. а)
;
б)
.
15. а)
;
б)
.
16. а)
;
б)
.
17. а)
;
б)
.
18. а)
;
б)
.
19. а)
;
б)
.
20. а)
;
б)
.
21. а)
;
б)
.
22. а)
;
б)
.
23. а)
;
б)
.
24. а)
;
б)
.
25. а)
;
б)
.
26. а)
;
б)
.
27. а)
;
б)
.
28. а)
;
б)
.
29. а)
;
б)
.
30. а)
;
б)
.
V. Найти неопределенные интегралы.
В каждом случае записать табличный интеграл и значения входящих в него параметров.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
VI. Найти неопределенные интегралы, пользуясь методом подстановки или применяя интегрирование по частям.
1. а)
; б)
.
2. а)
; б)
.
3. а)
; б)
.
4. а)
; б)
.
5. а)
; б)
.
6. а)
; б)
.
7. а)
; б)
.
8. а)
; б)
.
9. а)
;
б)
.
10. а)
;
б)
.
11. а)
; б)
.
12. а)
; б)
.
13. а)
; б)
.
14. а)
; б)
.
15. а)
; б)
.
16. а)
; б)
.
17. а)
; б)
.
18. а)
; б)
.
19. а)
; б)
.
20. а)
; б)
.
21. а)
; б)
.
22. а)
; б)
.
23. а)
; б)
.
24. а)
; б)
.
25. а)
; б)
.
26. а)
; б)
.
27. а)
; б)
.
28. а)
; б)
.
29. а)
; б)
.
30. а)
; б)
.
VII. Найти интегралы от рациональных дробей.
1. а)
б)
.
2. а)
б)
.
3. а)
б)
.
4. а)
б)
.
5. а)
б)
.
6. а)
б)
.
7. а)
б)
.
8. а)
б)
.
9. а)
б)
.
10. а)
б)
.
11. а)
б)
.
12. а)
б)
.
13. а)
б)
.
14. а)
б)
.
15. а)
б)
.
16. а)
б)
.
17. а)
б)
.
18. а)
б)
.
19. а)
б)
.
20. а)
б)
.
21. а)
б)
.
22. а)
б)
.
23. а)
б)
.
24. а)
б)
.
25. а)
б)
.
26. а)
б)
.
27. а)
б)
.
28. а)
б)
.
29. а)
б)
.
30. а)
б)
.
VIII. Найти неопределенные интегралы от выражений, содержащих тригонометрические функции.
1. а)
;
б)
.
2. а)
; б)
.
3. а)
; б)
.
4. а)
;
б)
.
5. а)
;
б)
.
6. а)
;
б)
.
7. а)
;
б)
.
8. а)
;
б)
.
9. а)
;
б)
.
10. а)
;
б)
.
11. а)
;
б)
.
12. а)
;
б)
.
13. а)
;
б)
.
14. а)
;
б)
.
15. а)
;
б)
.
16. а)
;
б)
.
17. а)
;
б)
.
18. а)
;
б)
.
19. а)
;
б)
.
20. а)
;
б)
.
21. а)
;
б)
.
22. а)
;
б)
.
23. а)
;
б)
.
24. а)
;
б)
.
25. а)
;
б)
.
26. а)
;
б)
.
27. а)
;
б)
.
28. а)
;
б)
.
29. а)
;
б)
.
30. а)
;
б)
.
IX. Вычислить определенные интегралы.
а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
;
в)
.
X. Вычислить:
- площадь фигуры,
ограниченной параболой
и прямой
;
- объем тела,
образованного вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной параболой
и прямой
(значения параметров
приведены
в таблице) .
№ варианта |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
3 |
3 |
2 |
5 |
2 |
3 |
1 |
4 |
-1 |
9 |
3 |
3 |
-4 |
3 |
-2 |
8 |
4 |
2 |
3 |
5 |
4 |
11 |
5 |
2 |
-2 |
2 |
-3 |
8 |
6 |
1 |
4 |
5 |
2 |
5 |
7 |
1 |
-4 |
5 |
-2 |
8 |
8 |
2 |
-5 |
7 |
-4 |
10 |
9 |
3 |
-4 |
2 |
-3 |
6 |
10 |
1 |
6 |
10 |
-1 |
18 |
11 |
1 |
3 |
3 |
3 |
7 |
12 |
3 |
1 |
4 |
-3 |
3 |
13 |
3 |
-5 |
4 |
-1 |
3 |
14 |
2 |
3 |
5 |
-2 |
12 |
15 |
2 |
5 |
7 |
4 |
8 |
16 |
1 |
4 |
5 |
2 |
8 |
17 |
1 |
-4 |
5 |
-3 |
7 |
18 |
2 |
-5 |
4 |
-3 |
4 |
19 |
3 |
4 |
2 |
1 |
8 |
20 |
1 |
-4 |
7 |
2 |
2 |
21 |
1 |
3 |
3 |
5 |
6 |
22 |
3 |
1 |
5 |
-3 |
4 |
23 |
3 |
5 |
4 |
-4 |
4 |
24 |
2 |
3 |
5 |
6 |
10 |
25 |
2 |
3 |
3 |
4 |
6 |
26 |
1 |
4 |
5 |
3 |
7 |
27 |
1 |
1 |
4 |
-1 |
4 |
28 |
2 |
2 |
3 |
1 |
6 |
29 |
3 |
4 |
7 |
3 |
11 |
30 |
1 |
1 |
5 |
3 |
8 |
