1.2. Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений

Наименьшее из чисел, которое можно взять за основание системы счисления, - это число 2, соответствующая система счисления называется двоичной. Эта система счисления одна из самых старых, она встречалась у некоторых племен Австралии и Полинезии. Для записи числа в двоичной системе счисления используется два символа {0,1}. Например, число 101001,01₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ +0*2² +0*2¹ +1*2⁰ +0*2^-1 + 1*2^-2 = 41,25₁₀. Для записи этого числа в десятичной системе счисления понадобилось 4 цифры, а в двоичной – 8 цифр. Это недостаток двоичной системы счисления по сравнению с десятичной. Однако, с точки зрения технической реализации, для десятичной цифры необходимо десять устойчивых состояний или, другими словами, переключатель с десятью положениями, тогда как для двоичной цифры (бит – Binery Digit) достаточно два устойчивых состояния: 0 - нет сигнала (выключено), 1 - есть сигнал (включено) или 0 – нет «дырочки» на перфоленте (перфокарте), 1 - есть «дырочка» и т.д. . Последнее обстоятельство оказалось весьма полезным при создании современных вычислительных машин. Числа в ЭВМ представляются в двоичной системе счисления. В двоичной системе счисления все арифметические действия выполняются весьма просто, например таблица сложения и умножения будет иметь восемь правил.

Таблица 1. 1

Арифметические действия в двоичной системе счисления

сложение	умножение
0 + 0 = 0	0 * 0 = 0
0 + 1 = 1	0 * 1 = 0
1 + 0 = 1	1 * 0 = 0
1 +1 = 10	1 * 1 = 1

Рассмотрим операции сложения и вычитания в двоичной системе счисления. В двоичной системе счисления нет цифры два, поэтому 1+1 = 10₂, или ноль пишем один в уме.

Пример 1.7. Вычислить 1011101₂ + 101011₂. Сложение произведем столбиком

1011101

+

101011

--------------

10001000

Т.е. 1+1 = 10 или ноль пишем один в уме; один и один в уме – это 10, т.е. опять ноль пишем и один в уме и т.д.

Пример 1.8. Вычислить 10001000₂ – 101011₂. Вычитание также произведем столбиком

10001000

-

101011

--------------

1011101

Здесь при вычитании необходимо занять единицу предыдущего разряда.

Вместе с двоичной системой счисления часто используются «кратные» ей восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений. Т.к. 8 = 2³ , то для записи восьми цифр {0,1,...,7} в двоичной системе счисления достаточно трех разрядов, в каждом из которых записывается двоичная цифра. При этом наибольшее из них – 7, записывается в трех разрядах следующим образом

1

1

1

1

1

1

1

Аналогично, для записи шестнадцати цифр {0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F} в двоичной системе счисления достаточно четырех разрядов (16 = 2⁴), в каждом из которых записывается двоичная цифра. Наибольшее из них – 15, записывается в четырех разрядах следующим образом

Используя таблицу 2, длинное, с точки зрения количества символов, число из двоичной системы счисления легко перевести в восьмеричную систему счисления и наоборот. Например, дано число 1010111,0111₂. Для его перевода восьмеричную систему счисления необходимо двигаясь вправо и влево от десятичной точки (запятой) выделять группы по три цифры, добавив при необходимости незначащие нули в начале и в конце числа, а именно 001 010 111, 011 100₂. Тогда в соответствии с таблицей 2 (001 010 111, 011 100)₂ = 127,34₈. Для перевода числа в двоичную систему счисления необходимо опять воспользоваться таблицей 2, т.е. 127,34₈ = 001 010 111, 011 100₂. После отбрасывания незначащих нулей получаем 127,34₈ = 1010111,0111₂.

Для перевода этого же числа 1010111,0111₂ в шестнадцатеричную систему счисления необходимо двигаясь вправо и влево от десятичной точки (запятой) выделять группы по четыре цифры, добавив при необходимости незначащие нули в начале и в конце числа и воспользоваться таблицей 2, а именно 0101 0111, 0111₂ = 57,7₁₆. Также с помощью таблицы можно перейти в двоичную систему счисления, а, именно, 57,7₁₆ = 0101 0111,0111₂. Использование восьмеричной и, особенно, шестнадцатеричной системы счисления позволяет уменьшить число символов, необходимых для записи числа.

Таким образом, числа и, вообще, вся информация в памяти ЭВМ представляется в двоичной системе счисления. Поэтому двоичной системе счисления придается особое значение. При работе с числами в двоичной системе счисления восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений также используются на практике для краткости записи чисел с помощью меньшего количества символов.

Если представить память ЭВМ в виде большего (очень большого) набора рядом расположенных бит (клеток), в каждом из которых записана единица (есть сигнал) или ноль (нет сигнала), то это одно очень большое число. Если это много чисел, то для каждого числа надо указать, где оно начинается и где заканчивается, т.е. для каждого числа, кроме его значения (набора нулей и единиц), необходимо указывать «адрес» этого числа. Поэтому вся память ЭВМ разбита на группы из восьми взаимосвязанных бит, называемых байтом. Байт – это минимальная по размеру адресуемая часть памяти компьютера.

Таблица 1.2.

Таблица двоичных кодов восьмеричных, десятичных и шестнадцатеричных цифр

Цифра	Двоичный код в восьмеричной системе счисления	Цифра	Двоичный код в шестнадцатеричной системе счисления
0	000	0	0000
1	001	1	0001
2	010	2	0010
3	011	3	0011
4	100	4	0100
5	101	5	0101
6	110	6	0110
7	111	7	0111
-	-	8	1000
-	-	9	1001
-	-	A	1010
-	-	B	1011
-	-	C	1100
-	-	D	1101
-	-	E	1110
-	-	F	1111

Существует несколько типов чисел – это целые, рациональные, иррациональные, каждые из которых в свою очередь могут быть положительными или отрицательными. Для каждого из типов чисел существует свой способ представления в памяти компьютера.

Целые положительные числа от 0 до 255 можно представить в двоичной системе счисления, при этом они будут занимать один байт памяти в памяти компьютера.

Наибольшее значение числа, записанное в одном байте равно 255. Действительно 1111 1111₂ = 1*2⁷+1*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰ = 255₁₀. Сейчас и в дальнейшем при вычислениях подобных выражений можно поступить проще, т.е.

1111 1111₂ = 1111 1111₂ + 1 - 1 = 1 0000 0000₂ -1 = 1*2⁸ - 1 = 255.

Таблица 1.3

Представление целых положительных чисел в двоичной

системе счисления в восьми разрядах

Число	Двоичный код
0	0000 0000
1	0000 0001
2	0000 0010
3	0000 0011
…	…
255	1111 1111

Одного байта недостаточно для записи больших целых чисел, поэтому байты объединяются в слова и двойные слова. При этом два байта образуют слово, а четыре байта двойное слово.

Знак числа кодируется двоичной цифрой, при этом код 0 означает знак плюс, код 1 – знак минус. Для знака числа отводится старший (левый) бит в записи числа (биты нумеруются справа налево, начиная с 0 – го разряда). Тогда, например число 0000 0000 0000 0111₂ = 7₁₀, а число 1000 0000 0000 0111₂ = -7₁₀. В компьютерах для представления положительных и отрицательных чисел используются специальные коды: прямой, обратный и дополнительный. Причем два последних позволяют заменить неудобную для ЭВМ операцию вычитания на операцию сложения с отрицательным числом; дополнительный код обеспечивает более быстрое выполнение операций, поэтому в ЭВМ чаще применяется именно он. Обратный код числа получается заменой единиц нулями, а нулей единицами. Знаковый бит остается неизменным. К обратному коду прибавляется единица и получается дополнительный код. Тогда для числа (-7) обратный и дополнительный коды следующие: 1111 1111 1111 1000 – это обратный код; 1111 1111 1111 1001 – это дополнительный код.

Тогда операция вычитания 7-7 в двоичной системе счисления с использованием дополнительного кода приводит к следующей операции сложения

0000 0000 0000 0111₂

+

1111 1111 1111 1001₂

-----------------------------

1 0000 0000 0000 0000₂

При этом левая единица не помещается в отведенные для числа два байта (16 бит) и отбрасывается, таким образом, результат сложения есть 0.

Наибольшее положительное число, которое может быть записано в слове (2 байта) 0111 1111 1111 1111₂ = 0111 1111 1111 1111₂ + 1 - 1=1000 0000 0000 0000 = 2¹⁶ –1 = 32767, а в двойном слове (4 байта) 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111₂ = 2³¹ – 1 = 2 147 483 647. Наименьшее отрицательное число в слове 1111 1111 1111 1111₂, но оно записывается в виде обратного кода, а именно 1000 0000 0000 0000₂ = 2¹⁵ = - 32768, в двойном слове 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111₂ = 2^{3 1}= - 2 147 483 648.

Для кодирования действительных чисел наиболее приемлемой является форма их записи, называемая нормальной формой или формой с плавающей (запятой) точкой: N = MP ^{ r} , где M – мантисса числа (r- порядок числа (целое число); P - основание системы счисления. Например, N = - 3,25₁₀, если это число перевести в двоичную систему счисления оно будет иметь вид N = -11,01₂ или в нормализованном виде N = - 0,1101*2². Таким образом, мантисса M = 0,1101; основание системы счисления P = 2; порядок числа r =2. Числа с плавающей точкой имеют формат двойного слова (4 байта) или расширенного слова (8 байт). В формате двойного слова указанное число будет записано следующим образом

	Знак числа	Порядок					Мантисса
N разряда	31	30	29	…	25	24	23	22	21	20	19	18	…	1	0
Число	1	0	0	0	1	0	1	1	0	1	0	0	…	0	0

Для символьных данных также применяется двоичное кодирование путем задания кодовых таблиц. Наиболее распространенная таблица – это ACSII (American National Standard for Information Interchange, американский стандартный код информационного обмена). Коды от 0 до 127 составляют базовую (основную) таблицу, коды со 128 по 255 – расширенную (дополнительную) таблицу. Дополнительная таблица отдана национальным алфавитам и символам псевдографики. Например, латинское «А» кодируется числом 65₁₀ = 41₁₆ = 0100 0001₂, занимая один байт памяти со следующим содержимым

0

0

1

0

0

0

0

1

Далее «В» – 66₁₀ = 42₁₆ и т.д., малое латинское «а» – 97₁₀ = 61₁₆. Русское «А» – 128₁₀ = 80₁₆. В большинстве современных языков программирования есть операторы, позволяющие определить символ по его числовому значению и наоборот.

Из изложенного становится ясно, что вся информация, хранящаяся в памяти компьютера, записана в байтах в виде набора нулей и единиц. В ряде случаев компьютер «знает», что означает то или иное содержимое области памяти. В других случаях необходимо объявить, что содержится в данной области памяти (целое число, число с плавающей точкой, символ и т.д.).

Задания для самостоятельной работы.

1. Перевести в десятичную систему счисления следующие числа: 1234,07₈; 243,04₅; 1202,01₃; 1256,02₆.

2. Найти значения чисел в соответствующих системах счисления: 56,25=Y₈; 145,125=Z₁₂; 245,14=X₇ и проверить полученные результаты обратным переводом в десятичную систему счисления.

3. Перевести в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счислений следующие числа: 214,125; 106,3125; 147,14.

4. Сложить числа, результат проверить вычитанием 1010110,01101₂+1011,1₂; 111011,01₂+11101,0011₂.

5. Найти произведение чисел 241,2₈*15,2₄=X₁₆.

6. Школьный учитель на вопрос, сколько у него учеников ответил: «У меня в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки». В какой системе счисления учитель сформулировал задачу?

7. Заполнить несколько клеток таблицы умножения чисел в шестеричной системе счисления, например 4₆*5₆=X₆; 2₆*4₆=Y_6; 3₆*5₆=Z₆; 6₆*6₆=W₆. (Примечание, например 6₁₀*7₁₀=42₁₀=4*10+2, поэтому 4₆*5₆=4*5=20=3*6+2=32₆).

8. Записать обратный и дополнительный коды для отрицательного числа -10.

Задания для домашней контрольной работы.

1. Перевести в десятичную систему счисления следующие числа: 66[(N+1)/4],[(N+2)/4]₇; 12[(N+3)/5],[(N+4)/6]2₈; AD[(N+5)/3],C1₁₆.

Примечание: здесь N номер студента по списку, а число в квадратных скобках означает целую часть соответствующего числа, например N=10, тогда [(N+1)/4]=[11/4]=[2,75]=2.

2. Числа, полученные в первом пункте перевести в соответствующие системы счислений и убедиться в правильности произведенных вычислений.

3. Перевести из десятичной в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счислений, следующие числа: [(N+3)/3]51,[(30-N)/3]; 25[(20-N)/2],[N/4].

4. Сложить числа, результат проверить вычитанием 1А10А10,0В01₂+10В11,А1₂; 111АВА,01₂+1110В,АА11₂. Здесь вместо символа А ставится единица, если номер N по списку четное число и ноль, если нечетное число. Вместо символа В ставится ноль, если номер N по списку четное число и единица, если нечетное число.

5. Найти произведение чисел 134[N/3],2₈*[N/6],2₄=X₁₆.