Исследование функций с помощью производных

Необходимые условия экстремума. Предположим сначала, что функция дифференцируема на . Если в точке функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку теорему Ферма, заключаем, что . Это необходимое условие экстремума, т.е. экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю. Такие точки называются стационарными.

Если допустить, что экстремум может быть в точках, где производная не существует, то не исключена возможность, что экстремум придется на какую-либо из таких точек.

Таким образом, в общем случае для того, чтобы в точке функция имела экстремум, необходимо, чтобы в этой точке производная либо не существовала, либо была равна нулю. Такие точки называют критическими.

Отметим, что каждая точка, в которой функция имеет экстремум, является критической. Однако, не в каждой критической точке есть экстремум.

Например. Для функции ; , однако в точке эта функция экстремума не имеет (рис.10)

Рис. 10

Заметим, что возрастание или убывание функции на некотором интервале определяется знаком ее производной на этом интервале. Имеет место следующее утверждение:

1. если функция , имеющая производную на отрезке , возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке неотрицательна, т.е. ; если же убывает на отрезке , то на этом отрезке.

2. если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри него, причем для , то эта функция возрастает на отрезке ; если же на интервале , то убывает на отрезке .

Интервалы, на которых функция либо только убывает, либо только возрастает, называются интервалами монотонности функции.

Пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Найдем ее производную.

Следовательно, . Отсюда имеем три интервала монотонности данной функции: . Определим знак производной в каждом интервале и характер поведения функции на нём.

на интервале функция возрастает;

на интервале функция убывает;

на интервале функция возрастает;

Достаточные условия экстремума. Первое правило.

Чтобы определить, есть ли в критической точке экстремум, применяют достаточные условия экстремума.

Предположим, что в некоторой -окрестности критической точки существует производная и как слева от , так и справа от сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

1. при и при , т.е. производная при переходе через точку меняет знак «+» на «-». В этом случае в промежутке функция возрастает, а в промежутке убывает, так что значение будет наибольшим в промежутке , т.е. в точке функция имеет локальный максимум.

2. при и при , т.е. производная при переходе через точку меняет знак «-» на «+». В этом случае аналогично убеждаемся в том, что в точке функция имеет локальный минимум.

3. как при , так и при , либо же и слева и справа от , т.е. при переходе через точку не имеет знак. Тогда функция либо все время возрастает, либо все время убывает, так что в точке экстремума нет.

Итак, мы получаем первое правило для определения экстремума в критической точке : подставляем в производную сначала , а затем , устанавливаем знак производной вблизи от точки слева и справа от нее, если при этом производная меняет знак «+» на «-», то на лицо максимум, если меняет знак «-» на «+», то –минимум; если же знак не меняет, то экстремума вовсе нет.

Пример. Найти экстремумы функции

.

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси.

Решение. Ее производная

существует и конечная при всех .

Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю.

; ;

Критические точки: .

Этими точками область определения функции разбивается на следующие интервалы:

.

Поскольку производная существует, то других критических точек у функции нет.

Для определения знака производной в этих интервалах можно установить его для конкретных значений, например, . Получаем следующие знаки:

в интервале ,

в интервале ,

в интервале ,

в интервале .

В соответствии с достаточным условием при экстремума нет (производна не поменяла знак при переходе через точку ), при функция имеет максимум (производна поменяла знак с «+» на «-»), а при - минимум (производная поменяла знак с «-» на «+»).

Зная точки , доставляющие нашей функции экстремальные значения, легко вычислить теперь и сами эти значения: , . График этой функции имеет вид

Достаточные условия экстремума. Второе правило. Пусть функция не только имеет производную в окрестности точки , но и вторую производную в самой точке : . Точка - стационарная, т.е. . Если , то функция в точке имеет минимум. Если , то в точке функция имеет максимум.

Отсюда следует второе правило для проверки экстремума в точке : подставляем во вторую производную ; если , то функция имеет минимум, если же , то – максимум в точке .

Это правило имеет, вообще говоря, более узкий круг применения. Оно явно неприменимо к тем точкам, где не существует первая производная. В тех случаях, когда вторая производная обращается в ноль, правило также ответа не дает. Решение вопроса зависит от поведения высших производных высших порядков.

Пример. Вернемся к рассмотренной выше задаче:

.

Для нее .

Стационарные точки: .

.

Для отыскания производной второго порядка воспользовались формулой .

,

,

.

Таким образом, в точке - максимум, - минимум, для точки вопрос остается не решенным и для его решения необходимо воспользоваться первым правилом.

Порядок нахождения интервалов монотонности функции и экстремума и точек. При исследовании функции интервалы монотонности и точки экстремума находятся одновременно. Порядок их нахождения может быть следующим:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность. Если функция четная или нечетная, то ее можно исследовать только на половине области определения.

3. Исследовать функцию на периодичность. Если функция периодическая, то ее можно исследовать только на одном периоде.

4. Найти критические точки функции, т.е. точки, в которых ее производная равна нулю или не существует. Эти точки разобьют область определения функции на интервалы, в которых производная сохраняет знак.

5. Определить знак производной в каждом интервале. Для этого достаточно вычислить значение производной в одной из внутренних точек каждого интервала.

6. В интервалах, где производная положительна, функция возрастает, в интервалах, где производная отрицательна, функция убывает; в критических точках, при переходе через которые производная меняет знак с минуса на плюс, функция имеет минимум, в критических точках, при переходе через которые производная меняет знак с плюса на минус, функция имеет максимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в этой точке функция не имеет экстремума.

7. Вычислить экстремальные значения функции.

Пример. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Решение.

1) Функция определена на всей числовой оси: или D(f) = R.

2) Проверим, не является ли функция четной, либо нечетной:

f(-x) = = = ; , следовательно функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Функция не периодическая, так как она алгебраическая.

4. Найдём производную данной функции

Найдём критические точки функции, т.е. точки, где производная равна нулю либо не существует:

.

Производная не существует в точках, где , т.е. в точках . Таким образом имеем три критических точки, которые разбивают область определения функции на четыре интервала.

Полученные результаты оформим в виде таблицы.

		не сущес- твует				не сущес- твует
						нет экстре- мума

Из таблицы видно, что в интервалах , функция монотонно возрастает, а в интервале (0,4/3) монотонно убывает , , при экстремума нет.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Рассмотрим вопрос о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции в этом промежутке.

Остановимся сначала на наибольшем значении. Если оно достигается в некоторой точке между и , то это один из максимумов (очевидно наибольший). Но наибольшее значение может достигаться и на одном из концов отрезка или . Таким образом, для нахождения наибольшего значения функции надо сравнить между собой все максимумы функции и ее граничные значения и . Наибольшее из них и будет наибольшим значением функции в .

Аналогично находим и наименьшее значение.

Практически для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке достаточно найти критические точки функции, лежащие внутри отрезка, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, и из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. В предыдущем примере было установлено, что на отрезке функция имеет одну критическую точку . Поэтому для решения задачи достаточно вычислить значения функции в этой точке и на концах отрезка:

,

,

.

Среди них наименьшее и наибольшее .

Следовательно, наименьшее значение функции равно , а наибольшее значение функции равно .

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Каждый из вас интуитивно представляет себе выпуклую поверхность. Например, внешняя поверхность сферы. Любая плоская кривая на такой поверхности является выпуклой. Можно также говорить о выпуклости вниз и выпуклости вверх кривой.

Рис. 11 Рис. 12

Пусть функция определена и непрерывна в некотором промежутке . Говорят, что кривая выпукла вниз (вогнута), если ее график лежит не ниже любой касательной, проведенной к ней на этом промежутке (рис. 11). Если же график функции лежит не выше любой своей касательной, то кривая называется выпуклой вверх (выпуклой) (рис. 12).

Ч асто функция выпукла вверх в одних частях ее области определения и выпукла вниз в других. Точки графика функции, при переходе через которые меняется направление выпуклости, называются точками перегиба.

Рис. 13

Следует иметь в виду, что направление выпуклости может измениться и в точках разрыва функции (рис. 3).

Нахождение интервалов выпуклости вниз, выпуклости вверх и точек перегиба функции.

Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее формы.

Имеет место следующее утверждение:

1. Если во всех точках интервала производная второго порядка функции отрицательна, т.е. , то кривая на этом интервале выпукла вверх (кривая выпукла);

2. Если во всех точках интервала производная второго порядка функции положительна, т.е. , то кривая на этом интервале выпукла вниз (кривая вогнута).

Сформулируем достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба: пусть кривая определяется уравнением .

Если или не существует и при переходе через точку производная меняет знак, то точка кривой является точкой перегиба.

Очевидно, что точками перегиба функции могут быть лишь те точки, при переходе через которые меняет знак. Действительно, если, например, слева от и справа от , то слева от функция выпукла вверх, а справа – выпукла вниз, т.е. - точка перегиба.

Так как при переходе через точку перегиба меняет знак, то в этой точке либо , либо не существует. Поэтому точками перегиба могут быть лишь те точки, где вторая производная обращается в нуль, либо не существует. Такие точки называются критическими точками второго рода функции.

Порядок нахождения интервалов выпуклости вниз, выпуклости вверх и точек перегиба функции. Порядок нахождения интервалов выпуклости вниз, выпуклости вверх и точек перегиба функции аналогичен порядку нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции, только вместо производной первого порядка рассматривается производная второго порядка функции.

1. Найти область определения функции;

2. Исследовать функцию на четность. Если функция четная или нечетная, то ее можно исследовать только на половине области определения;

3. Исследовать функцию на периодичность. Если функция периодическая, то ее можно исследовать только на одном периоде;

4. Найти критические точки второго рода функции, т.е. точки, в которых ее вторая производная второго порядка равна нулю или не существует. Эти точки разобьют область определения функции на интервалы, в которых вторая производная сохраняет знак;

5. Определить знак второй производной в каждом интервале. Для этого достаточно вычислить значение второй производной в одной из внутренних точек каждого интервала;

6. В интервалах, где вторая производная положительна, кривая выпукла вниз; в интервалах, где вторая производная отрицательна, кривая выпукла вверх. Критические точки второго рода, принадлежащие области определения функции, при переходе через которые вторая производная меняет знак, являются абсциссами точек перегиба функции;

7. Вычислить значения функции в критических точках второго рода, при переходе через которые производная второго порядка меняет знак.

Пример. Найти интервалы выпуклости вниз, выпуклости вверх и точки перегиба кривой

.

Решение. Функция определена при

Функция ни четная, ни нечетная, поскольку

.

Функция непериодическая, так как она алгебраическая.

Находим критические точки второго рода функции:

Полагая и сокращая на 12, приходим к уравнению

корни которого, _. Таким образом, функция имеет две критические точки второго рода. _{Область определения разбиваем на участки Устанавливаем знаки второй производной в каждом из этих интервалов.}

кривая выпукла вниз, кривая выпукла верх,

кривая выпукла вниз.

Точки - точка абсциссы перегиба графика функции:

Таким образом, - точки перегиба данной кривой.

_{График этой функции имеет вид:}

Асимптоты. Пусть имеем кривую, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки кривых в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой (рис. 14). Как видно из рисунка, кривая может стремиться к своей асимптоте, пересекая ее бесконечное множество раз, либо с одной стороны (рис. 14).

Рис. 4

Различают асимптоты вертикальные и наклонные, частным случаем которых есть горизонтальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты. Пусть при функция неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая является асимптотой, то (рис. 4).

Таким образом, для отыскания вертикальных асимптот графика функции следует найти те значения , при которых функция обращается в бесконечность. Тогда уравнения вертикальных асимптот имеют вид .

Пример 2. Найти вертикальные асимптоты графика функции .

Так как , то прямая - вертикальная асимптота.

Наклонные асимптоты. Предположим, что кривая имеет наклонную асимптоту при . Так как , то при и также стремиться к нулю (рис. 5). Следовательно, если асимптота кривой при , то . Разделив на , получим отсюда: . Кроме того, непосредственно имеем .

Рис. 15

Таким образом, для нахождения наклонных асимптот при надо найти и по формулам:

,

.

Отметим, что кривая может иметь две различных наклонных асимптот при и при .

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты при . Поэтому их можно отдельно не искать.

Пример 3. Найти асимптоты кривой .

Решение. Так как при функция , то прямая является вертикальной асимптотой кривой .

Найдем наклонные асимптоты.

Имеем ,

Таким образом, кривая имеет наклонную асимптоту:

.

Отметим, что при получаем те же результаты, т.е. прямая является наклонной асимптоты и при и при .

Общая схема исследования функции и построения ее графика. Пусть функция дважды дифференцируема во всей области определения за исключением, быть может, отдельных точек. Тогда для изучения функции и построения ее графика необходимо выполнить следующее:

1. найти область определения функции;

2. исследовать функцию на четность (если функция четная или нечетная, то ее можно исследовать, лишь при положительных или лишь при отрицательных значениях ); если область определения не симметрична относительно начала координат, то функция ни четная, ни нечетная;

3. проверить, является ли функция периодической и найти ее период, если она периодическая (если функция периодическая, то при исследовании можно ограничиться, лишь одним периодом функции);

4. исследовать функцию на непрерывность;

5. исследовать точки разрыва функции, найти вертикальные асимптоты если есть, точки разрыва второго рода;

6. найти наклонные асимптоты;

7. найти интервалы монотонности и точки экстремумов функции, вычислить экстремумы функции;

8. найти интервалы выпуклости вниз, выпуклости вверх и точки перегиба;

9. найти точки пересечения графика с осями координат, если их можно найти;

10. по полученным точкам построить график функции, учитывая при этом все особенности поведения функции между этими точками.

Построенный подобным образом график уже довольно полно отображает ход изменения функции, точно отмечает промежутки ее возрастания и убывания, выпуклости вниз и выпуклости вверх, а также точки, где функция имеет экстремумы, и точки перегиба.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения функции: , т.е. функция определена при .

2. Область определения функции симметрична относительно начала координат. Проверим, является ли она четной или нечетной: . Ясно, что и . Следовательно, функция ни четная, ни нечетная.

3. Функция непериодична, так как алгебраическая.

4. Функция непрерывна на интервалах и , а в точке имеем разрыв, т.к. не определена в этой точке. Установим тип разрыва. Имеем

и

.

Это означает, что - точка разрыва второго рода. По определению прямая - вертикальная асимптота графика функции.

5. Найдем наклонные асимптоты. Уравнение наклонной асимптоты . Вычислим и .

,

.

При получим те же значения для и .

Следовательно, прямая - наклонная асимптота и при и при

6. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции. Имеем .

Найдем критические точки функции, т.е. точки, где производная функции равна нулю либо не существует.

;

не существует при , т.е. .

Таким образом, функция имеет две критические точки, которые делят ее область определения на три интервала, как показано на рис. 6. Определим знак в каждом интервале.

функция возрастает,

функция убывает,

функция возрастает.

Рис. 6

В точке функция имеет минимум: .

В точке функция не определена, поэтому в ней не может быть экстремума.

7. Находим интервалы выпуклости вверх, выпуклости вниз и точки перегиба. Имеем при всех из области определения функции. Следовательно, кривая выпукла вниз во всей области определения.

8. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью : , график функции не пересекается, т.к. функция не определена при .

По результатам исследования строим график (рис. 17).

Рис. 17

84