Основные теоремы дифференциального исчисления
Значение производной функции часто позволяет делать заключение о поведении самой функции. Рассмотрим ряд теорем, которые играют важную роль при изучении поведения функции с помощью производных.
Изучение количественного аспекта различных явлений природы (физических, экономических, социально-политических) приводится к изучению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую функциональную зависимость выразить аналитически, т.е. в виде одной или нескольких формул, то исследователь получает возможность изучать эту функциональную зависимость средствами математического анализа. Например, в результате изучения колебания груза на рессоре (автомобиль, вагон и т.д.) получим формулу, показывающую, как отклонение груза от положения равновесия зависит от времени :
.
(*)
Величины
имеют определенное значение для
рассматриваемой колебательной системы;
хотя они зависят от упругости системы,
от величины груза и некоторых других
факторов, но не изменяются с течением
времени, и поэтому рассматриваются как
постоянные величины (параметры). На
основании формулы (*) можно выяснить,
при каких значениях
отклонение
увеличивается с увеличением времени,
как меняется величина наибольшего
отклонения груза в зависимости от
времени, при каких значениях
получаются наибольшие скорости движения
груза и ряд других вопросов. Все они
входят в понятие «исследовать поведение
функции
.
Функция
называется возрастающей (неубывающей)
на множестве
,
если для любых
,
для которых
,
выполняется неравенство
(
).
Функция
называется
убывающей (невозрастающей) на множестве
,
если для любых
,
для которых
,
выполняется неравенство
(
).
Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие функции называется монотонными.
Функция
в точке
имеет локальный максимум (локальный
минимум), если можно указать такую
окрестность
точки
,
что для всех точек этой окрестности,
отличных от
выполняется неравенство
(
).
Иначе, функция имеет в точке максимум (минимум) если ее значение в точке больше (меньше) чем ее значение во всех точках некоторого интервала, содержащего точку , отличных от точки .
На
рис. .. приведем график функции
,
которая возрастает на интервалах
и
,
и убывает на интервалах
и
;
в точках
и
.
Функция
имеет локальный максимум, равный
соответственно
и
,
а в точке
- локальный минимум, равный
.
Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.
Теорема
Ферма.
Пусть функция
определена в некоторой области и во
внутренней точке
, и она имеет в этой точке локальный
экстремум. Тогда, если существует
двусторонняя конечная производная
в этой точке, то необходимо
.
Рис. 8
Обращение в ноль производной геометрически означает, что в точке этой кривой касательная параллельна оси (рис. 8).
Теорема Роля. Пусть функция :
определена и непрерывна на отрезке ,
имеет конечную производную
,
по крайней мере, в
,на концах отрезка принимает равные значения:
.
Тогда
между
и
найдется такая точка
,
что
.
Теорема
Ролля имеет простой геометрический
смысл. Если выполнены условия теоремы,
то на графике функции
существует точка
,
касательная в которой параллельна оси
(рис. 8).
Теорема Лагранжа или первая теорема о среднем значении. Пусть:
определена и непрерывна на ,
существует конечная производная , по крайней мере, в .
Тогда между и найдется такая точка , что для нее выполняется равенство
. (**)
Проведем
секущую
через точки
и
кривой
(рис. 9). Легко заметить, что угловой
коэффициент секущей
равен,
,а
угловой коэффициент касательной к
кривой
в точке с.
Отсюда следует из теоремы Лагранжа, что
на дуге
всегда найдётся хотя бы одна точка М, в
которой касательная параллельна хорде
.
Рис. 9
Формулу (**) можно записать в виде
-
это равенство называется формулой
(Лагранжа) конечных приращений.
Из формулы конечных приращений следует следующее утверждение: если функция имеет на интервале производную, равную нулю, то она постоянна на этом интервале.
Теорема Коши или вторая теорема о среднем значении. Пусть:
функции и
непрерывны на
,существуют конечные производные и
,
по крайней мере, в
,
в
.
Тогда между и найдется такая точка , что
.
Приложения производных. Производные широко применяются при решении различных задач. Рассмотрим некоторые из них.
Нахождение
скорости и ускорения точки при
прямолинейном движении. Если
точка движется прямолинейно по закону
,
то ее скорость в момент времени
вычисляется по формуле
,
а ускорение – по формуле
.
Пример
1. Найти скорость и ускорение точки в
момент времени
,
если она движется прямолинейно по закону
.
Решение. Найдем сначала скорость и ускорение материальной точки в производный момент времени .
,
.
Следовательно,
в момент времени
ее скорость и ускорение соответственно
равны
.
Составление
уравнений касательной и нормали к кривой
.
Поскольку
есть угловой коэффициент касательной
к графику функции
в точке
,
то уравнение касательной к кривой
в
точке
имеет вид:
,
а уравнение нормали
.
Пример.
Составить уравнение касательной и
нормали к кривой
в точке с абсциссой
Решение.
Найдём ординату точки
.
Тогда
и
.
Следовательно,
уравнение касательной в этой точке
имеет вид
или
,
а уравнение нормали
или
.
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Рассмотрим применение производной для раскрытия неопределенностей. Последующие теоремы в основном принадлежат Лопиталю и И. Бернулли. Высказанное в них правило обычно называют правилом Лопиталя.
Неопределенность
вида
или
.
Пусть
функции и непрерывны на некотором интервале, - произвольная точка этого интервала;
или
;
существуют конечные производные и , причем .
Тогда
,
если последний предел существует.
Теорема имеет место и в случае, когда .
Теорема может быть полезна в тех случаях, когда нахождение предела отношения производных проще, чем нахождение предела отношения самих функций.
Пример 1.
.
Пример 2.
.
Пример 3.
Пример 4.
Отметим, что правило Лапиталя можно применить несколько раз при условии, что имеет место неопределенность вида или .
Другие
виды неопределенностей. Кроме
неопределённостей вида
и
существуют, как уже было рассмотрено
ранее, неопределённости вида
.
Предыдущая теорема относились к
неопределенностям вида
и
.
Поэтому ,для того, чтобы воспользоваться
правилом Лопиталя для раскрытия
неопределенностей других видов, их
нужно привести сначала к неопределенностям
вида
или
.
Приведём примеры на вычисление данных
неопределённостей.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
,
поскольку
.
Пример 4.
Пример
5.
,
поскольку
.