6. Первый и второй замечательный пределы

Первый замечательный предел. .

Этот предел часто называют первым замечательным пределом, так как он лежит в основе целого ряда важных результатов.

Второй замечательный предел. .

Этот предел носит название второго замечательного предела, так как имеет исключительную важность, как для самого математического анализа, так и для его приложений.

Число иррациональное. Вот несколько первых его знаков:

…

Обозначим ; ( при ); тогда .

Имеет место также равенство .

Натуральные логарифмы. Натуральными логарифмами называются логарифмы при основании . Натуральный логарифм числа обозначается .

Отметим, что .

Если , , то ;

;

.

• Какая формула определяет эквивалентность бесконечно больших?

• Укажите бесконечно большие величины, которым эквивалентны следующие бесконечно малые величины (при ).

• Запишите первый и второй замечательные пределы.

• Какие логарифмы называются натуральными?

• Запишите основные правила логарифмирования.

• Укажите формулу, с помощью которой раскрывается неопределенность вида .

Задание. Вычислить пределы.

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Непрерывность функций и точки разрыва

Приращение функции. Пусть некоторая переменная величина переходит от своего начального значения к конечному значению . Разность конечного и начального значений называется приращением величины и обозначается . Таким образом, по определению .

Приращение может быть как положительным, так и отрицательным. В первом случае переходит от меньшего значения к большему, во втором – от большего к меньшему.

Очевидно, что конечное приращенное значение переменной равно сумме начального значения и приращения: .

Пусть есть некоторая функция от : . Дадим аргументу приращение . Тогда также получит приращение .

Отсюда следует, что , т.е. новое приращенное значение функции равно сумме начального значения функции и ее приращения.

На рис. 1 приращение функции , соответствующее приращению аргумента , изображено отрезком .

Рис. 1. Рис. 2

Определение непрерывности функции в точке. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и в некоторой ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. при или

. (а)

Используя равенство , можно записать

или

.

Обозначив окончательно, получим, учитывая, что при ,

. (б)

Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точке если она определена в точке и в некоторой ее окрестности и предел функции при стремлении к равен значению функции в точке .

Если же условия (а) и (б) не выполнены в точке , то функция называется разрывной в точке , а точка называется точкой разрыва функции.

Понятие непрерывности функции связано с интуитивным представлением непрерывной линии, являющейся графиком функции: если функция непрерывна в точке , то ее графиком в окрестности точки является непрерывная линия (рис.2).

Примером непрерывной в любой точке функции может быть функция . Действительно, ее приращение, соответствующее приращению аргумента, равно:

и, очевидно, стремится к 0, если . А это означает, что функция непрерывна в любой точке .

До сих пор, вычисляя пределы (а) или (б) для установления непрерывности функции в точке , мы считали, что может стремиться к , приближаясь к нему и справа и слева. Однако часто приходится рассматривать случаи, когда может приближаться к либо только справа, либо только слева, т.е. с одной стороны. Это касается, прежде всего, концов промежутков. Очевидно, что при исследовании непрерывности функции на левом конце промежутка в пределе (б) может стремиться к лишь справа, т.е. оставаясь больше , а на правом конце может стремить к лишь слева, т.е. оставаясь меньше (рис.2). В этом случае говорят об односторонних пределах: называется левосторонним пределом, а - правосторонним пределом функции в точке .

Используя односторонние пределы, можно сформулировать еще одно определение непрерывности функции в точке: функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности

. (*)

Если хотя бы одно из равенств в (*) не выполнено, то функция разрывна в точке .

Классификация точек разрыва функции. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.

Все точки разрыва можно разделить на две группы: точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода.

Если функция такова, что в точке существуют односторонние пределы и , но хотя бы одно из равенств не выполняется, то говорят, что функция в точке имеет разрыв первого рода и если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то в точке функция имеет разрыв второго рода.

В точке разрыва первого рода чаще всего функция имеет скачок, равный разности .

Если скачок равен 0, то иногда такой разрыв называют устранимым разрывом, если не существует в изолированной точкой.

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Эта функция определена и непрерывна везде, кроме точки . Исследуем точку :

1. не существует,

2. ,

3. .

Таким образом, пределы слева и справа в точке существуют и равны между собой. Следовательно, в точке функция имеет устранимый разрыв. Для того, чтобы функция была непрерывна в точке , достаточно положить (рис.3).

Рис. 3

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Заметим, что всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения. Заданная неэлементарная функция непрерывна при и при , так как в каждом из этих интервалов она элементарная. Очевидно, что функция может быть разрывной в точке . Исследуем непрерывность функции в этой точке.

Имеем:

1. 

2. ,

3. .

Как видим, пределы справа и слева в точке существуют, но не равны между собой. Следовательно, в этой точке функция имеет разрыв первого рода, причем скачок равен .

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Очевидно, что функция имеет разрыв в точке . Определим род точки разрыва. Имеем

1. не существует,

2. ,

3. .

Так как предел справа и слева бесконечен, то в точке функция имеет разрыв второго рода.

Укажем основные свойства непрерывных в точке функций.

1. Алгебраическая сумма конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке , есть непрерывная функция в этой точке.

2. Произведение конечного числа непрерывных функций в точке есть непрерывная функция в этой точке.

3. Частное двух функций, непрерывных в некоторой точке , есть непрерывная в этой точке функция, если только знаменатель не обращается в ней в 0.

4. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

5. Функция, обратная к монотонной и непрерывной функции, непрерывна.

6. Каждая элементарная функция непрерывна в своей области определения.

Свойства непрерывных функций на отрезке.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на концах отрезка, т.е. в точках и , непрерывна соответственно справа и слева.

Приведем некоторые свойства непрерывных на отрезке функций.

Рис. 4 Рис. 5

1. Теорема о существовании корня. Если функция непрерывна на замкнутом отрезке и на концах его принимает разные по знаку значения , то она хотя бы раз обращается в 0 внутри интервала (рис.4, рис.5).

Геометрически это очевидно: для того, чтобы функция изменила знак, ее график должен пересечь ось абсцисс, т.е. функция должна обратиться в 0.

2. Теорема о промежуточных значениях. Функция, непрерывная на замкнутом отрезке, принимает внутри отрезка хотя бы один раз любое значение, заключенное между ее значениями на концах отрезка.

Пусть и пусть . Тогда согласно теореме для любого , заключенного между и _, найдется точка такая, что (рис.6).

3. Теорема о наибольшем и наименьшем значениях. Функция, непрерывная на отрезке, хотя бы в одной точке отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной точке – наименьшее значение.

Например, функция, показанная на рис. 7 ,в точке достигает наибольшее значение , а в точке – наименьшее значение .

Рис. 6 Рис. 7

Следствие. Функция, непрерывная на замкнутом отрезке, ограничена на этом отрезке: , где – наименьшее, а – наибольшее значения функции на .