Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Если
,
то бесконечно малые
и
называются эквивалентными.
Эквивалентность бесконечно малых и обозначается так:
.
При
любой функции
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Если , то и – эквивалентные бесконечно большие.
Можно показать, что при
.
Этой таблицей эквивалентных бесконечно малых и эквивалентных бесконечно больших часто пользуются при нахождении различных пределов.
Теорема
о замене бесконечно малых и бесконечно
больших эквивалентными величинами.
Предел отношения двух бесконечно малых
или двух бесконечно больших не изменится,
если каждую из них заменить эквивалентными,
т.е. если
,
– две пары эквивалентных бесконечно
малых или бесконечно больших при
,
то
.
Теорема часто применяется для нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших вместе с таблицей основных эквивалентных бесконечно малых и эквивалентных бесконечно больших.
Пример.
Найти
предел
Решение.
.
Здесь
заменили бесконечно малые
и
им эквивалентными
и
.
.
Здесь
заменили бесконечно большие
и
им эквивалентными
и
.
Сформулируйте и напишите правило вычисления предела суммы, произведения и частного двух функций.
В каком случае бесконечно малые
и
называются эквивалентными?
Задание . Пользуясь таблицей эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших величин, вычислить пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Понятие неопределенностей
В теоремах о пределах суммы, произведения, частного конечного числа функций мы предполагали, что все рассматриваемые функции имеют конечные пределы и, в случае частного, предел делителя не должен был равняться нулю. Оставлены были без рассмотрения случаи, когда пределы функций бесконечны или, в случае частного, когда предел знаменателя равен нулю.
Рассмотрим наиболее важные из этих случаев.
Неопределенность вида
.
Эта
неопределенность имеет место при
вычислении предела частного, когда и
делимое и делитель одновременно
стремятся к нулю.
Раскрывается такая неопределенность алгебраическими или тригонометрическими преобразованиями, или же с помощью эквивалентных бесконечно малых, поскольку имеем отношение двух бесконечно малых.
Пример.
Найти предел функции
.
Решение.
Вспомогательные вычисления.
Разложим
числитель и знаменатель на множители,
пользуясь формулой
,
где
и
корни уравнения
.
Пример.
.
2.
Неопределенность вида
.
Эта неопределенность имеет место при
вычислении предела частного, когда и
делимое и делитель одновременно стремятся
к бесконечности.
Раскрывается такая неопределенность алгебраическими или тригонометрическими преобразованиями, или же с помощью эквивалентных бесконечно больших, поскольку имеем отношение двух бесконечно больших.
Пример.
3.
Неопределенность вида
.
Эта неопределенность имеет место при
вычислении предела произведения, когда
один из сомножителей стремится к 0, а
второй – к бесконечности.
Раскрывается эта неопределенность алгебраическими или тригонометрическими преобразованиями, при этом неопределенность преобразуется в неопределенность или .
Пример.
.
Поскольку
,
т.е. является бесконечно малой, то
.
4.
Неопределенность вида
.
Эта неопределенность имеет место при
вычислении предела разности двух
функций, которые стремятся к бесконечностям
одного знака.
Эта неопределенность преобразуется в неопределенность или алгебраическими или тригонометрическими преобразованиями.
Пример.
Вспомогательные вычисления.
1)
,
поскольку
.
2)
Разложим числитель на множители, для
чего найдем сначала корни уравнения
;
;
;
.
Пользуясь
формулой
,
получаем
.
5.
Неопределенность вида
.
Эта неопределенность имеет место при
вычислении предела степенно-показательной
функции
,
когда предел основания равен 1, а предел
показателя равен
.
Эта
неопределенность приводится к
неопределенности
,
раскрытие которой мы уже рассмотрели,
следующими преобразованиями:
.
Пример.
.