3. Предел функции

1. Понятие предела функции

Предел функции при . Число называется пределом функции при неограниченно возрастающем по абсолютной величине, т.е. при , если для всякого положительного, как угодно малого числа можно указать число положительное и зависящее от такое, что для всех по модулю больших справедливо неравенство .

Другими словами, число называется пределом функции при , если мало отличается от при достаточно больших по модулю .

Это обозначается так:

(читается: предел при стремящемся к бесконечности равен ).

Предел функции при . Число называется пределом функции при , стремящемся к , если для всякого положительного, как угодно малого наперед заданного числа можно указать положительное число , зависящее от такое, что для всех , для которых .

Другими словами, число называется пределом функции при , если мало отличается от , когда близко к .

Это обозначается так: .

2. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Рассмотрим пределы, которые часто будут использоваться в дальнейшем.

Предел константы. Предел постоянной величины равен ей самой.

Бесконечно малые величины. Функция называется бесконечно малой величиной или просто бесконечно малой при , если .

Например, при , т.е. является бесконечно малой величиной при .

Функция называется бесконечно большой при , если .

Между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами существует обратная зависимость: если – бесконечно большая при , то ее обратная величина – бесконечно малая при и наоборот.

Связь между бесконечно малой и пределом функции. Если , то – бесконечно малая функция при и наоборот, если - бесконечно малая при , то .

Свойства бесконечно малых..

Свойство 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых при есть также бесконечно малая.

Свойство 2. Произведение ограниченной функции и бесконечно малой есть бесконечно малая величина.

Следствие 1. Произведение постоянной и бесконечно малой есть бесконечно малая величина.

Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

Этим часто пользуются на практике для установления предела функции.

• Какая величина называется бесконечно малой?

• Какая связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами?

3. Основные теоремы теории пределов

Относительно пределов справедливы следующие теоремы.

Теорема о пределе суммы. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций, если они существуют, т.е.

Теорема о пределе произведения. Предел произведения конечного числа сомножителей равен произведению пределов этих сомножителей, если пределы сомножителей существуют, т.е.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени с натуральным показателем равен степени предела основания с тем же показателем.

.

Следствие 3. Предел многочлена при равен значению этого многочлена в точке :

Пример. .

Теорема о пределе частного. Предел частного двух функций при равен частному пределов этих функций, если пределы функций существуют и предел делителя не равен нулю:

.

Следствие. Предел частного двух многочленов при равен его значению в точке , т.е. .

Пример. .