2. Характеристики поведения функции.

В дальнейшем мы будем рассматривать функции непрерывного аргумента, т.е. функции, заданные во всех точках некоторого интервала.

Перейдем к рассмотрению основных характеристик поведения функции.

Интервалы знакопостоянства. Это интервалы, в которых функция сохраняет один и тот же знак.

Различают интервалы положительного знака, т.е. интервалы, где функция положительна, и интервалы отрицательного знака, т.е. интервалы, где функция отрицательна.

В интервале положительного знака график функции расположен над осью , а в интервале отрицательного знака - под осью (предполагается, что ось ординат направлена вверх, а ось абсцисс – горизонтально вправо). Нули или корни функции - это значения аргумента , при которых функция обращается в 0.

Четные и нечетные функции. Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и при изменении знака аргумента она не меняется, т.е. .

Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и при изменении знака аргумента она изменяет только знак, т.е. .

Пример. Функция - четная, а функция - нечетная.

Известно, что график четной функции симметричен относительно оси , а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Вот почему, исследуя четную или нечетную функцию, достаточно рассмотреть лишь одну из половин области определения.

Если область определения функции не симметрична относительно начала координат или не выполняется ни одно из условий и , то функция называется ни четной, ни нечетной или функцией общего вида. Именно такими являются большинство функций, например, .

Периодические функции. Период функции. Функция называется периодической, если существует такое число , что для любого из области определении функции, выполняется равенство .

Если функция периодическая, то существует бесконечное множество чисел , для которых имеет место указанное равенство. Действительно, равенство выполняется для , так как и вообще для , где - любое натуральное число.

Наименьшее положительное число , для которого выполняется равенство , называется периодом функции.

Поведение функции на каждом из интервалов, длина которого равна периоду функции, совершенно одинаково, поэтому достаточно рассматривать функцию на одном из таких интервалов.

• Приведите примеры четной функции, нечетной функции, периодической функции.

• Какая из приведенных функций является периодической? Нарисуйте их графики.

Задание 2. Определить, какая из приведенных функций является четной, нечетной или ни четной, ни нечетной.

а) ; б) ; в) .

3. Классификация функций.

В зависимости от числа аргументов функции делятся на функции одной переменной и функции нескольких переменных (двух и т. д.). В этом разделе будем рассматривать только функции одной переменной, заданные аналитически.

Явные и неявные функции. Функция называется явной, если дано её выражение через аргумент . Например, , .

Функция называется неявной, если не имеется непосредственного аналитического выражения её через аргумент, а есть только уравнение, связывающее её с аргументом и неразрешённое относительно функции . Например, , .

Очевидно, что неявную функцию записать в явном виде не всегда возможно. В первом примере это сделать можно , а во втором нет.

Функции, заданные параметрически. Функция называется параметрически заданной, если и функция и её аргумент представлены как функции одной и той же вспомогательной переменной, называемой параметром: – параметр. Например:

Основные элементарные функции.

К основным элементарным функциям относятся:

1. Степенная функция

2. Показательная функция ;

3. Логарифмическая функция ;

4. Тригонометрический синус ;

5. Тригонометрический косинус ;

6. Тригонометрический тангенс ;

7. Тригонометрический котангенс ;

8. Обратный тригонометрический синус ;

9. Обратный тригонометрический косинус ;

10. Обратный тригонометрический тангенс ;

11. Обратный тригонометрический котангенс .

Элементарной функцией называется функция, которую можно задать одним аналитическим выражением, составленным из основных элементарных функций и констант при помощи конечного числа арифметических операций и операций взятия функции от функции. Например, функции , - элементарные, а функции и не являются элементарными, так как первая задана двумя формулами, а во второй имеется бесконечное число операций сложения и возведение в степень.