Элементарные функции.
Понятие функции и способы ее задания
В каждом реальном процессе или явлении участвуют одновременно несколько переменных величин, взаимосвязанных друг с другом таким образом, что изменение одних величин сказывается на значениях других. Они не могут принимать одновременно любой набор значений: если одним из них приданы конкретные значения, то этим определяются и значения других переменных. Говорят, что между рассматриваемыми величинами имеется функциональная зависимость. Например, функциональная зависимость существует между длиной окружности и её радиусом, между площадью квадрата и его стороной и т.д.
Дадим общее определение понятия функции - одного из основных понятий математического анализа ( для двух переменных).
Переменная
называется
функцией
от переменной
в области её значений
,
если
по некоторому правилу или закону каждому
значению
из
ставится
в соответствие одно определенное
значение
из
.
Переменная
называется
независимой переменой или аргументом
функции, а переменная
-
зависимой переменной или функцией.
Множество
значений
аргумента
называется областью определения функции,
а множество значений
переменной
называется
областью значения функции
.
Существенным в определении функции является условие, что каждому значению соответствует одно значение . Такие функции называются однозначными. Если допустить, что одному значению может ставиться в соответствие несколько значений , то получим многозначную функцию.
Если
переменная
есть
функция от переменной
,
то это обозначается так:
или
и
т.п.
Способы задания функции. Задать функцию - это значит задать область определения функции, область ее изменения и закон или правило, согласно которым по данному значению аргумента находится соответствующее значение функции.
Задать функцию можно по-разному. Важнейшие способы задания функции: аналитический, табличный и графический.
Аналитический способ задания функции. Это наиболее удобный и наиболее распространенный способ задания функции. При аналитическом способе задания функция задается формулой, в которой указаны действия и порядок получения данного значения функции.
Формулы могут содержать, прежде всего, все изученные в элементарной математике операции: арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление), возведение в степень и извлечение корня, логарифмирование, операции нахождения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и им обратные.
Областью определения функции, заданной аналитически, является множество значений аргумента, при которых формула имеет смысл, т.е. при которых выполнимы все действия, указанные в формуле.
Пример.
Функция
определена
лишь на отрезке
,
так как квадратный корень не извлекается
из отрицательных чисел.
Напомним действия, которые выполняются в области действительных чисел только при выполнении определенных условий.
1)
деление
выполнимо при
;
2)
извлечение корней четной степени
выполнимо при
;
3)
возведение в степень с иррациональным
показателем
,
–
иррациональное, выполнимо при
;
4)
логарифмирование
,
,
выполнимо
при
;
5)
существует при
,
;
6)
существует при
;
;
7)
существует при
;
8)
существует при
.
Пример.
Найти область определения функции
Решение. Область определения описывается следующим неравенством
Это следует из условия, что логарифм существует только для положительных чисел.
Приравняем этот трёхчлен к нулю,
.
Tочки
делят
числовую ось на интервалы
.
Определим
знак
функции в каждом интервале. Для этого
достаточно вычислить f(x)
в
одной из внутренних точек каждого
интервала.
,
Таким
образом, функция определена в области
.
Задание 1. Найти область определения функции:
а)
;
б)
;
в)
.
Табличный способ задания функции. При табличном способе указываются значения функции при заданном значении аргумента.
х |
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
уn |
Графический способ задания функции. При графическом способе функция задается графиком в некоторой системе координат.
Графиком функции в прямоугольной системе координат называется множество точек плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами - соответствующие им значения функции. График функции обычно представляет собой некоторую кривую линию. Обратно, всякая линия на координатной плоскости хОу изображает некоторую функцию, а именно ту, значения которой равны ординатам точек линии при значениях аргумента, равным абсциссам этих точек.
В математическом анализе графический способ используется как вспомогательный, так как легкая обозримость и наглядность графика делает его незаменимым средством исследования свойств функции.