2. Теоретические сведения

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ

НА ОСНОВЕ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА.

При выявлении и описании зависимостей между случайными величинами по данным пассивного эксперимента применяют методы корреляционного и регрессивного анализов. Между случайными величинами может существовать, так называемая, корреляционная связь, при которой с изменением одной величины изменяется распределение другой. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости пользуются управлением регрессии.

2.1. Определение коэффициентов уравнения множественной регрессии.

Уравнение множественной регрессии, полученное по данным пассивного эксперимента, чаще всего записывается в виде линейного полинома:

; 2.1

где b₀ – выборочный коэффициент, который называется свободным членом уравнения;

b_j- выборочные коэффициенты, называемые линейными эффектами;

x_j – входные измеряемые и регулируемые параметры технологического процесса (факторы);

y^{^}– оценка выходного измеряемого параметра процесса;

к – число факторов.

В реальном технологическом процессе всегда существуют неуправляемые и неконтролируемые параметры и изменение величины выходного параметра у носит случайный характер. Поэтому при обработке экспериментальных данных получают выборочные коэффициенты b₀ b_j являющиеся оценками теоретических коэффициентов . Уравнение (2.1.) применяется для построения статистических моделей статики процессов химической технологии. Такая модель не несет необходимой информации о механизме процесса, его физико-химических свойствах. Однако уравнение регрессии может быть использовано для определения оптимальных условий протекания процессов, оптимальных составов приготовления смесей и т.п.

Предположим, что проведен пассивный эксперимент и полученные данные сведены в таблицу 2.1.

Таблица 2.1

№ опыта	Факторы		Выходной параметр (параллельные опыты)
	X1	X2	y1	……	yu	………..	ym
1	X11	X21	Y11	……	Y1u	……	Y1m
2	X12	X22	Y21	……	Y2u	……	Y2m
…..	……	……	……	……	…..	……	……
i	X1i	X2i	Yi1	……	Yiu	……	Yim
……..	……	……	……	……	……	……	……
N	X1N	X2N	yN1	……	YNu	……	Ynm

Здесь число N - число опытов параллельных опытов. Требуется определить математическую модель в виде линейного полинома для некоторого процесса, имеющего входные параметры X₁ X₂ и выходной параметр y .

(2.2.)

и выполнить корреляционный и регрессионный анализ.

Приведем схему корреляционного и регрессивного анализа по экспериментальным данным, когда каждый из N опытов повторен m раз. (табл. 2.1.)

В каждой строчке табл. 2.1 находится среднее значение величины по m параллельным опытам;

i=1,2,……N (2.3)

Затем вычисляется среднее значение выходного параметра по N опытам.

(2.4)

и среднее значение факторов

j = 1,2,…k (2.5)

находятся средние квадратические отклонения у х_j соответственно Sy Sx_j

(2.6)

j= 1,2….k; (2.7)

Для уменьшения трудностей, связанных с расчетом коэффициентов уравнения регрессии перейдем от натурального масштаба к новому, проведя нормировку всех значений по формулам:

(2.8)

I= 1,2,…N. (2.9)

Где У^о_i X_ji^o -нормированные значения выходной величины и факторов. Результаты нормировки всех значений сводятся в табл. 2.2

Таблица 2.2

№ опыта	Факторы		Входной параметр
	X1o	X2o	Уоi
1	X11o	X21o	Уо1
2	X12o	X22o	Уо2
..	…	…	…
I	X1io	X2io	Уоi
….	….	…	…
N	X1No	X2No	УоN

В новом масштабе:

(2.10)

выборочные коэффициенты корреляции рассчитываются так:

(2.11)

выборочные коэффициенты корреляции, вычисленные по формулам (2.11) равны коэффициентам корреляции между переменными, выраженными в натуральном масштабе, т.е.

(2.12)

Доказано в математической статистике, что уравнение регрессии между нормированными переменными не имеет свободного члена:

(2.13)

Коэффициенты уравнения (2.13) а₁ и а₂ определяется методом наименьших квадратов.

(2.14)

или

(2.15)

Процедура нахождения коэффициентов а₁ и а₂ с сводится к задаче определения минимума функции Ф(а_1,а₂) . Необходимым условием минимума функции Ф(а_1,а₂) является.

(2.16)

Продифференцировав выражение (2.15) получим:

(2.17)

систему уравнений (2.17) можно записать так:

(2.18)

Перейдем к системе нормальных уравнений:

(2.19)

Уложим левую и правую части системы (2.19) на I(V-I). В первом уравнении получим следующие выражения при а₁ и а₂ (сравните выражения (2.10) и (2.11)).

(2.20)

(2.21)

Известно:

Учитывая выражения (2.20),(2.21) и (2.12), получим систему нормальных уравнений в виде:

(2.22)

Решив систему уравнений (2.22) находим коэффициенты а₁ а₂ . Значения , рассчитывают по формулам (2.11), используя данные таблицы 2.2 .