Розділ 2. Просторові криві

У багатьох випадках необхідне попереднє опрацювання інформації перед її виведенням на графічний пристрій. Як звичайно існує якась множина точок на площині, через які треба побудувати криву. Головно є два шляхи інтерпретації кривих. Перший полягає в такому: потрібно, щоб задані точки належали самій кривій. У такому випадку застосовують справу з інтерполяційні методи (рис. 2.1).

Другий шлях передбачає, що крива має проходити близько від заданих точок, які не обов’язково повинні лежати на кривій. У цьому разі маємо методи апроксимації (рис. 2.2).

Рис. 2.1. Інтерполяція Рис. 2.2. Апроксимація

За допомогою методів апроксимації, які забезпечують згладжування, можливо виділити найсуттєвіше, поліпшити не тільки математичне, а й естетичне зображення інформації. Методи апроксимації відіграють важливу роль і під час аналізування функцій. Сучасні пристрої графічного введення і виведення разом зі швидкодійними ЕОM дають змогу математику не тільки бачити результати, а й оперативно втручатись в процес обчислень, вибирати інші вузли, змінювати клас функцій, контролюючи точність наближення [32].

Проблема наближення функцій виникає досить часто, зокрема в разі введення в комп’ютер функціональних залежностей, попередньо отриманих унаслідок експерименту та під час виведення інформації на графічний пристрій. У разі конструювання кривих і поверхонь провідну роль відіграють такі критерії як зовнішній вигляд, гладкість кривої, осциляції та ін.

Оскільки проектовані об’єкти мають, як звичайно, складну форму, яку не можна описати за допомогою простих аналітичних функцій, тому їх зручно описувати частинами. В наступних параграфах розглянемо геометрію просторових кривих, властивості окремих сегментів і складених кривих.

2.1. Геометрія просторових кривих

2.1.1. Параметричне і непараметричне зображення кривих

Математичну криву можна зобразити у параметричній або непараметричній формі. Відповідно непараметричну криву можна описувати у вигляді явної або неявної функції. Для просторової кривої явне зображення має вигляд

Просторову криву можна виразити також у неявній формі. В цьому випадку вона математично зображена перерізом двох поверхонь, заданих співвідношеннями

Цей метод опису чинний, якщо для точки з координатами , яка задовольняє ці два рівняння, справджується рівність

.

У параметричному зображенні кривої кожна координата точки на кривій відображена як функція одного або більше параметрів. Якщо – параметр, то просторову криву можна записати у вигляді

Для кривої з одним параметром радіус-вектор точки на кривій визначають так:

.

Параметричне зображення має деякі переваги над непараметричним. Параметричні функції використовують для рисування замкнених кривих і кривих з багатьма значеннями за заданої незалежної змінної. Оскільки точку на параметричній кривій характеризують значенням параметра, то параметрична крива є осенезалежною. Довжина кривої визначена діапазоном зміни параметра. Це часто застосовують для нормалізації параметра так, щоб параметрична крива була визначена при . Завдяки незалежності від осей параметрична крива легко перетворюється в криву того ж виду, але з іншою орієнтацією. Це дає змогу завдяки використанню методів матричного множення виконувати зміну масштабу, відображення, перенесення, обертання, а також отримувати перспективні проекції.

Просторову криву називаємо регулярною ( разів диференційованою), якщо кожна точка цієї кривої має окіл, який допускає регулярну параметизацію.

,

де – регулярні ( разів диференційовані) функції. При криву називають гладкою.

Постає питання: які повинні бути параметричні функції, щоб бути параметричними рівняннями деякої кривої? На це питання дає відповідь відомий факт. Якщо

– регулярні функції, які задовольняють умову

,

тоді

є параметричними рівняннями деякої кривої. Ця крива є образом відрізка при локальному топологічному відображенні, яке точці відрізка ставить у відповідність точку простору з координатами .