3.1.2. Перша квадратична форма

З використанням параметричних рівнянь криву, що лежить на поверхні , можна записати у вигляді . В цьому випадку позначає довільну точку на заданій поверхні, а – точку на кривій. Пояснимо геометричний сенс першої форми. Вектор , дотичний до цієї кривої, має вигляд

де – часткові похідні.

Перша квадратична форма є додатньовизначеною, бо набуває лише невід’ємні значення і перетворюється на нуль тільки при . Справді, оскільки , то , а оскільки , то це є можливим лише за умови .

Довжина дотичного вектора дасть нам вираз для першої квадратичної форми. В кожній точці поверхні можна ввести квадратичну форму

де – похідні за параметром .

Визначимо коефіцієнти першої квадратичної форми, загальноприйнятими є такі позначення:

Якщо – кут між дотичними векторами, то

. (3.3)

Для ортогональних координат на поверхні Уведемо позначення для детермінанта першої квадратичної форми, враховуючи позначення з формули (3.2)

.

З урахуванням виразу для одиничного вектора нормалі можна записати

.

Перша квадратична форма описує поверхню в першому наближенні, коли малу ділянку поверхні замінюють на ділянку дотичної площини. З її допомогою визначають кути між лініями і довжини дуг на поверхні, а також площі будь-яких ділянок поверхні.

Малий елемент площі поверхні, враховуючи (3.2), (3.3) запишемо у вигляді

.

Отже, для того, щоб знайти площу деякої обмеженої ділянки поверхні, яка відповідає області площини змінних , треба обчислити інтеграл

,

.

Розглянемо деякі формули, пов’язані з першою квадратичною формою поверхні. Довжину дуги відрізка кривої з кінцями в точках , обчислюють за формулою

.

Одиничний вектор, дотичний до кривої , визначають співвідношенням

Нехай дві криві , які лежать на одній поверхні, перетинаються під кутом , тоді

Оскільки , а , то косинус кута перетину між цими двома кривими можна отримати з формули

.

Кут між координатними лініями на поверхні набуде вигляду

.

Звідси можна зробити висновок, що координатна сітка на поверхні є ортогональною (координатні лінії перетинаються під прямим кутом) тоді і тільки тоді, коли .

3.1.3. Друга квадратична форма поверхні

Друга квадратична форма описує поверхню в другому наближенні. Вона відображає, як відхиляється поверхня від дотичної площини, і повністю визначає кривину поверхні.

Нехай – регулярна поверхня, - якась її регулярна параметризація, – одиничний вектор нормалі поверхні в точці

Другою квадратичною формою поверхні називають квадратичну форму

.

Для коефіцієнтів використаємо такі позначення

Поняття другої квадратичної форми тісно пов’язане з кривиною поверхні.

Відомо, що , тоді ,

отримаємо вираз

.

З врахуванням попередніх позначень, запишемо

Матриця є матрицею другої квадратичної форми поверхні, бо , матриця є симетричною.

Визначимо коефіцієнти першої квадратичної форми, загальноприйнятими є такі позначення:

;

;

.

3.1.4. Нормальна кривина поверхні

Для двовимірного випадку скалярною кривиною кривої, яка лежить на площині, як вже згадувалося в 2.1.3, називають величину

= .

Тут всі вектори лежать в одній площині.

Нехай – регулярна параметризація якоїсь регулярної поверхні. Нехай якась регулярна крива на цій поверхні походить через деяку точку і має в ній напрям ( ) та нормаль , тоді отримаємо величину

= , (3.4)

де – кут між вектором нормалі до поверхні та напрямом вектора головної нормалі кривої.

Нормальною кривиною заданої поверхні в напряму ( ) або в напрямі вектора є кривина кривої, по якій поверхню перерізає площина, що містить нормаль до поверхні і дотичний вектор . Для такої кривої напрям вектора нормалі до поверхні збігається з напрямом вектора головної нормалі кривої, нормальна кривина визначена співвідношенням (3.4).

Виберемо за параметр, що визначає положення точки на кривій, довжину дуги. Тоді криволінійні координати точки будуть функціями довжини дуги , .

Вектори перпендикулярні до нормалі . З рівняння (3.4) одержуємо [23]

.

Або

(3.5)

Знайдемо з останнього рівняння нормальні кривини координатних ліній:

;

. (3.6)

Параметр визначає кручення поверхні. Простежимо за зміною в разі повертання перерізу навколо нормалі до поверхні. Для гладких поверхонь кривина буде плавно періодично змінюватись від мінімального до максимального значення. Знайдемо ці значення. Перепишемо вираз (3.5) у вигляді

.

Розкриємо дужки і перегрупуємо члени:

.

Отримаємо квадратичну форму

.

За теоремою Крамера необхідною і достатньою умовою існування нетривіального розв’язку є рівність нулю визначника матриці. Отримаємо квадратне рівняння для кривини

.

Звідси можна знайти два екстремальні значення , які називають головними кривинами поверхні в заданій точці. Відповідні їм напрями називають головними. Головні напрями є взаємно перпендикулярними.

Проведемо лінії на поверхні так, щоб у кожній точці дотичні до них ішли вздовж головних напрямів. Такі криві називають лініями кривини; їх зручно вибирати як координатні криві. Якщо поверхнева координатна сітка ( ) збігається з лініями кривини поверхні, то головні кривини збігаються з (3.6). Якщо коефіцієнт першої квадратичної форми то це сітка ортогональних криволінійних координат; якщо то сітку називають спряженою.

З властивостей квадратного рівняння для добутку і пів суми головних кривин маємо вирази

Величини і називають відповідно, гаусовою кривиною поверхні та середньою кривиною поверхні в заданій точці.