1.2.4. Центральні проекції

Центральна перспектива є тоді, коли хоча б один з коефіцієнтів матриці перетворень не дорівнює нулю.

Розташуємо осі координат, проекційну площину і центр проекції так, як показано на рис. 1.17. Уважаємо, що проекційною площиною може бути екран комп’ютера, на якому треба відобразити нескінченну кількість точок тривимірного об’єкта. У цьому разі прямі після перетворення переходять у прямі на проекційній площині. Завдяки цій властивості центральної перспективи можна проектувати (а саме обчислювати) тільки для граничних точок відрізків, а потім з’єднувати проекції точок лініями вже на площині.

Розглянемо точку , розміщену за проекційною площиною на відстані і її проекцію на екран. Розташуємо спостерігача в точці , яка є на осі на відстані від екрана (проекційної площини) з координатами . Визначимо координати точки на екрані. Позначимо їх через . З подібності трикутників та випливає, що

, (1.13)

аналогічно для x:

.

Рис. 1.17. Центральна перспективна проекція

Ці ж координати можна отримати за допомогою матричних перетворень при та перспективним проектуванням на площину або з центра, розміщеного в точці .

, (1.14)

де

– нормалізовані координати при . У цьому випадку такі перетворення не є афінними, оскільки тут не зберігається ортогональність осей. Спостерігаючи за центральною проекцією, легко збагнути отримання паралельних проекцій, для цього треба помістити точку в безмежність .

У наслідок проектування на будь-яку площину втрачають багато цінної інформації, яка може бути корисною для розуміння центральної проекції. Розглянемо перетворення

, (1.15)

пам’ятаючи, що

є нормалізованими координатами при .

Застосуємо описані вище пертворення до відрізка АВ, розміщеного на прямій, що паралельна до осі Z. Точка А перейде у точку А^* а точка B – у точку В^*, унаслідок чого отримаємо відрізок А^*В^*. Спроектуємо А^*В^* на проекційну площину z=0, і отримаємо відрізок CD. На підставі дослідження цих перетворень, (рис.1.18), зробимо низку корисних висновків.

Рис.1.18. Проекція відрізка на проекційну площину

1. Точка початку координат є незмінною:

.

2. Точка в безмежності на осі з координатами переходить у скінченну точку на цій же осі, називатимемо її точкою збіжності і позначимо буквами VP (Vanishing Point), що розташована на відстані від початку координат. Існує нескінченна множина точок збіжності.

.

3. Лінії (на рис.1.18 це лінія ), які спочатку були паралельні до осі , після перетворення перестають бути паралельними до осі (лінія і проходять через точку збіжності .

4. Якщо результати перетворень спроектувати на площину , то отримаємо центральну перспективну проекцію (на рис.1.18 лінія ), причому центр проекції є на тій же осі, що й точка збіжності , на однаковій відстані з протилежного боку проекційної площини. Отже, якщо точка є на осі в точці , то центр проекції є в точці .

Залежно від того, скільки координатних осей перетинаються проекційну площину, або скільки є точок збіжності, розрізняють одно-, дво- і три- точкові проекції.