1.2.1. Однорідні координати

У загальному вигляді матриця перетворень за перспективно-проекційних перетворень має ненульовий четвертий стовпець:

. (1.7)

Щоб ліпше зрозуміти суть однорідних координат, розглянемо окремі випадки. Нехай

,

де

– нормалізований вектор.

Четвертий елемент останнього стовпця матриці перетворень тут розглядаємо як додаткову координату вектора. Після дії матриці перетворень, вектор стає вектором у загальному вигляді або вектором однорідних координат. У цьому випадку , а число є масштабним множником.

Зображення двовимірного вектора тривимірним, тривимірного – чотиривимірним, і в загальному випадку -вимірного вектора -вимірним називають однорідно координатним відтворенням. За допомогою однорідних координат -вимірний вектор відтворюється в - вимірному просторі, а саме відбувається перехід з - вимірного простору в . Обернене перетворення називають проекцією однорідних координат [5].

Однорідні координати точки визначені не однозначно, якщо – однорідні координати точки, то і при також будуть однорідними координатами цієї ж точки. Наприклад (36, 27, 18, 9); (12, 9, 6, 3); (4, 3, 2, 1) є однорідними координатами однієї і тієї ж точки (x=4, y=3, z=2).

З цього прикладу можна зробити висновок, що за допомогою елемента відбувається повна зміна масштабу: при зменшення, а при його збільшення.

Розглянемо точку тривимірного простору з координатами . Її можна описати через однорідні координати як однорідне зображення точки двовимірного вектора. Її координати будуть , звідси можна зрозуміти, що двовимірне зображення точки з координатами виглядає як її проекція на площину (рис. 1.10).

Рис. 1.10. Проекція точки на площину .

Для ліпшого розуміння поняття однорідних координат, розглянемо двовимірний випадок. Зазначимо, що в цьому разі загальна матриця перетворень матиме такий вигляд:

З’ясуємо вплив останнього стовпця матриці перетворень у двовимірному випадку.

.

Тут . Змінна h визначає площину і містить перетворені точки, які наведені в однорідних координатах. В даному випадку h утворює рівняння площини в тривимірному просторі.

Рис.1.11. Перетворення в однорідних координатах

Дію однорідних координат можна прокоментувати так. Відрізок АВ, який лежить у площині xy, спроектовано на відрізок A`B` площини . Для отримання координат (x*,y*,1) треба виконати нормалізацію (рис. 1.11)

.

Нормалізація означає, що отримано відрізок A*B*, який є проекцією відрізка A`B` на площину h=1.

Аналогічно, розглядаючи застосування однорідних координат для векторів тривимірного простору, можна зобразити тривимірний простір як проекцію чотиривимірного простору на гіперплощину , якщо

.

Ненульові елементи матриці відповідають за перспективні перетворення.

де нормалізований вектор має вигляд

(1.8)

Вплив четвертого стовпця матриці перетворень детальніше розглянуто далі.

1.2.2. Проектування тривимірних об’єктів

З’ясуємо, як відбувається презентація тривимірних зображень на двовимірній площині. Для цього потрібно володіти деякими математичними моделями. Ці моделі повинні враховувати різноманітні чинники, які впливають на візуальне сприйняття реальних образів [15].

Для того, щоб побачити на площині монітора тривимірне зображення треба вміти задати спосіб відображення тривимірних точок у двовимірні. Проекції будують за допомогою променів, що виходять з точки, яку називають центром проекції. Промені проходять через проекційну площину та через кожну точку тривимірного об’єкта і так утворюють проекцію. Тип проектування на плоску поверхню, де у як промені використовують прямі, називають плоскою геометричною проекцією. Кожну точку предмета проектують визначеним способом на проекційну площину, а її образ називають точкою проекції. Отже, якщо лінії проекції, які з’єднують точки предмета з відповідними точками проекції паралельні між собою, то маємо плоску паралельну проекцію. Якщо лінії проекції збігаються в одній спільній точці, то отримане зображення називають центральною проекцією.

Якщо змінювати положення центра проекції та площини, на яку проектуємо, отримаємо безмежну кількість фігур (або, інакше кажучи, центральних проекцій тривимірного об’єкта, які чимось будуть схожі на сам об’єкт, але й чимось відрізнятимуться). Наприклад, проектуючи правильний трикутник, можна отримати той же трикутник, але довільної форми. У разі проектування кола можемо отримати еліпс, параболу або навіть гіперболу. За такого проектування не зберігаються метричні характеристики об’єктів (їхні довжина, площа та ін.).

Постає питання, які ж властивості зберігаються в разі проектування? На це питання дав відповідь Ж.Понселе, який виокремив проективні властивості об’єктів у окремий клас і визначив відповідності між метричними властивостями об’єктів, зокрема такі:

1. якщо об’єкт – пряма, то після проектування отримаємо також пряму;

2. якщо об’єкт – конічний переріз, який описується квадратичною формою , то проекції точок конічного перерізу ляжуть також на деякий конічний переріз. Отже, окремі види конічних перерізів (коло, еліпс, парабола, гіпербола) у проективній геометрії не відрізняються, на відміну від афінної, наприклад, де еліпс завжди перейде в еліпс.

Залежно від розташування центра проекції плоскі геометричні проекції поділяють на два види: паралельні і центральні.

Якщо центр проекції є на скінченній відстані від проекційної площини, то проекція – центральна (рис.1.13). Якщо ж центр проекції віддалений до нескінченості, то маємо справу з паралельною проекцією (рис.1.12).

Рис. 1.12. Паралельна проекція Рис.1.13. Центральна проекція