3.1.5. Перетворення параметрів поверхні

Нехай – регулярна параметризація деякої регулярної поверхні. Введемо нову параметризацію поверхні (не обов’язково ортогональну) . Задана однозначна відповідність. . Радіус-вектор і нові похідні задаватимуть так:

.

Матриця Якобі набуде вигляду

У цій матриці стовпці є компонентами дотичних векторів до координатних ліній . Отже, якщо і – відповідно, матриці першої та другої квадратичних форм поверхні , то і матриці першої і другої квадратичних форм поверхні

;

.

Зазначимо, що одиничний нормальний вектор, головні напрями і кривини не залежать від параметрів, які ми використовуємо, отже , вони є геометричними властивостями самої поверхні.

3.2. Утворення і зображення поверхонь

Будь-яку поверхню можна зобразити як переміщення лінії по інших лініях. Лінію, яка утворює поверхню, називають твірною, лінію, по якій переміщається твірна – напрямною. Твірні можуть бути сталими і змінними.

3.2.1. Класифікація поверхонь

Поверхні розділяються:

1. За законом творення: на закономірні і незакономірні. Закономірні задають графічно і аналітично, незакономірні – тільки графічно.

2. За ознакою розвертання в площину: які розвертаються і які не розвертаються.

3. За формою твірної: з прямолінійними твірними - лінійчаті поверхні; з криволінійною твірною – криві поверхні.

4. За способом переміщення твірної: з переміщенням твірної; з обертальним рухом твірної – поверхні обертання; з рухом твірної по гвинтовій лінії - гвинтові поверхні.

3.2.2. Лінійчаті поверхні

Лінійчатою поверхнею називають поверхню, яка утворена сімейством прямих, і тому її можна описати рівнянням

,

де - задана точка на напрямній з параметром , а - напрямний вектор цієї прямої. Параметр задає відстань між точками і . Лінійчата поверхня, твірні якої з’єднують відповідні точки двох просторових кривих можна зобразити у вигляді

.

Криві називають напрямними, а прямі, які з’єднують їхні відповідні точки, називають твірними. Лінійчаті поверхні поділяються на ті, що розгортаються і що не розгортаються. До поверхонь, що розгортаються відносяться циліндричні, конічні, призматичні та конічні поверхні.

3.3. Поверхні Без’є

3.3.1. Параметричне рівняння поверхні Без’є

Нехай задано масив точок

Вони утворюють характеристичний багатогранник (див. рис. 3.2), за їхньою допомогою проектують ділянку поверхні Без’є. Ділянка поверхні в деякому сенсі апроксимує багатогранник, хоча лише кутові точки у них є спільними.

Ділянку поверхні Без’є можна визначити за допомогою векторного рівняння, використовуючи поліноми Бернштейна.

(3.7)

Для ліпшого розуміння викладеного матеріалу розглянемо випадок бікубічної поверхні Без’є при , яка визначена 16 вершинами:

Тоді рівняння (3.6) можна переписати у вигляді

або в матричному вигляді

.

Матрицю називають базисною матрицею бікубічної поверхні Без’є.

Рис. 3.2 Ділянка кубічної поверхні Без’є.

3.3.2. Властивості ділянок поверхні Без’є

Ділянки поверхні Без’є мають такі головні властивості.

1. Елементарна поверхня Без’є, породжена масивом є гладкою поверхнею.

2. Граничні криві поверхні Без’є є кривими Без’є відповідних степенів, причому їхні граничні ламані є границею характеристичної багатогранної поверхні.

3. Елементарна поверхня Без’є лежить в опуклій оболонці, яка породжена масивом і є афінно інваріантна.

4. Степінь функціональних коефіцієнтів пов’язаний з кількістю вершин у масиві.

5. Додавання нових вершин призводить до перерахунку параметричних рівнянь.

6. Зміна вершини в масиві призводить до зміни всієї поверхні Без’є.

Ділянки поверхонь Без’є вищих ступенів будуються за аналогічною схемою. З ділянок поверхонь Без’є можна конструювати складніші поверхні, які є гладкими (неперервними) поверхнями, або їхнім об’єднанням.

3.4. В-сплайн поверхні