2.7.3. Раціональні криві Без’є
Для заданого масиву вершин
раціональна крива Без’є
степеня
визначена рівнянням [31]
(2.21)
де
поліноми Бернштейна
Сума невід’ємних ваг
,
є додатним числом. Якщо всі ваги однакові,
то отримаємо стандартну елементарну
криву Без’є m-го
степеня.
Наведемо властивості раціональних кривих Без’є
Елементарна раціональна крива Без’є, утворена за допомогою масиву є гладкою кривою.
Крива починається в вершині ,
,
дотикаючись до відрізка
характеристичної ламаної
.
Крива закінчується в останній точці
,
,
дотикаючись до відрізка
характеристичної ламаної,
.
Крива лежить в опуклій оболонці, яка породжена масивом керуючих точок ;
Крива симетрична в разі зміни порядку вершин масиву на протилежний.
Крива повторює характеристичну ламану.
За заданого набору вершин формою раціональної кривої Без’є можна керувати, змінюючи вагові множники.
У разі додаванні в масив хоча б одної вершини виникає потреба повного перерахунку параметричних рівнянь елементарної кривої Без’є.
Зміна принаймні однієї з вершин у масиві призводить до помітної зміни всієї кривої Без’є.
Розділ 3. Опис і побудова поверхонь
3.1. Геометрія поверхонь
3.1.1.Поняття поверхні, дотична площина до поверхні
Завдяки введенню декартової системи координат у просторі можна виявити однозначну відповідність між деякими геометричними образами і рівняннями. Поверхнею будемо називати множину точок, координати яких задовольняють рівняння вигляду [26]
Поверхні задають, як множину точок, що мають спільну для всіх них геометричну властивість. Щоб отримати рівняння поверхні, достатньо аналітично записати геометричні умови, що входять у її визначення.
Нехай
– елементарна поверхня;
– елементарна область у площині, образом
якої в разі топологічного відображення
є поверхня
– декартові координати довільної точки,
яка належить області.
- координати відповідної точки поверхні
є функціями координат точки області
:
. (3.1)
Систему
рівнянь, яка задає відображення області
в просторі, називають рівняннями поверхні
в параметричній формі,
– криволінійними координатами на
поверхні. Рівняння (3.1) за фіксованих
або
задають криву, яка лежить на цій поверхні.
Такі криві називають координатними
лініями.
Поверхню
будемо називати регулярною (к
разів диференційованою), якщо в кожній
її точці є окіл, який допускає регулярну
параметризацію. Тут
– регулярні (
разів неперервно диференційовані)
функції, задані в елементарній області
площини
.
При
поверхню називають гладкою.
Згідно з означенням, регулярна поверхня в околі кожної своєї точки може бути задана рівняннями в параметричній формі
,
де
- регулярні функції в деякій області
поверхні
площини
Надалі ми будемо користуватися векторним записом рівняння поверхні
.
Нехай
вектор
є
дотичним до параметричної кривої
,
де
– константа. Так само дотичний вектор
до кривої
дорівнює вектору
.
Площина, дотична до цих кривих у точці
їхнього перетину
,
містить два, згадані вище дотичні
вектори.
Побудуємо математичну модель дотичної площини за допомогою векторного добутку диференціалів радіуса-вектора.
. (3.2)
Вираз
називають
детермінантом першої квадратичної
форми, значення цього
виразу ми пояснимо далі.
Якщо поверхні мають таку параметризацію
,
тоді, маємо
.
Нормаль до цієї площини дорівнює векторному добутку векторів. Одиничний вектор нормалі (рис. 3.1) визначений за формулою
,
де
похідні обчислюють у точці
.
Орієнтацію вектора
вибирають у відповідності до конкретного
випадку. Точки, у яких, частинні похідні
не існують або в яких
,
відповідають або особливим точкам
параметризації, гребеням, або загостренням
поверхні.
Рис.3.1. Нормаль до поверхні
Нехай
– регулярна поверхня,
а
– її регулярна параметризація а
-
одиничний вектор нормалі до поверхні
в точці
.
У теорії поверхонь важливу роль відіграють
три квадратичні форми, пов’язані з
поверхнею
Приклад. Задано рівняння поверхні в параметричній формі (гелікоїд)
Перепишемо рівняння у векторному вигляді
Знайдемо векторний добуток
Далі обчислимо
,
отримаємо
.