2.7. Раціональні криві

2.7.1. Головні принципи раціональних кривих

Для достатньо доброго наближення складних кривих потрібні поліноми високих степенів, тому вводиться ширший клас кривих, спосіб побудови яких пов’язаний з проективним простором. Слово ”раціональні” означає, що математичний вираз, який описує форму модельованої кривої є співвідношенням двох поліномів.

Раціональні криві порівняно зі звичайними (нераціональними) кривими мають дві додаткові й дуже важливі властивості.

1. Вони забезпечують коректний результат у разі проекційних трансформацій, а нераціональні криві – тільки в разі афінних трансформацій.

2. Їх можна використовувати для моделювання кривих будь-якого виду, у тім числі конічні січення (кола, еліпси, параболи й гіперболи).

Ці важливі властивості досягають завдяки чотиримірному зображенню звичайної тривимірної точки {х, у, z}. Це означає, що кожна точка має чотири координати {х, у, z, w}. Остання координата w означає вагу (weight) керуючої точки. Вага в математичному сенсі – це значення, вплив, виражений спеціальною функцією або числовим значенням. Це одне з важливих понять у теорії прийняття рішень.

Спочатку координата w дорівнює одиниці, однак зі збільшеннм цього значення для керуючої точки збільшується степінь її впливу на форму кривої і вона відповідно сильніше вигинається в бік керуючої точки (рис. 2.20).

Рис. 2.20. Зміна форми кривої в разі зміні ваги точки

Криві, визначені таким способом з вагою w для кожної керуючої точки, називають раціональними кривими. Математично такі криві визначені в чотиривимірному просторі (оскільки керуючі точки мають чотири компоненти) і проектовані в тривимірний простір. Візуалізація об’єктів у чотирьох вимірах є досить складною. Для розуміння основної ідеї, розглянемо раціональні двовимірні криві: це криві, які є визначені в тривимірному просторі і проектуються на площину, як показано на рис. 2.21.

Рис. 2.21. Проектування тривимірної кривої на площину

Головний метод для такого перспективного проектування полягає у діленні на гомогенний компонент вершини, а саме на w). Використаємо аналогічний підхід проектування чотиримірної раціональної кривої в тримірний простір.

Зазначимо, що суттєвим є тільки відносна зміна ваг керуючих точок. Якщо вдвічі збільшити ваги всіх точок, то форма кривої не зміниться.

Як приклад, розглянемо квадратичну криву, визначену трьома точками (рис. 2.22 ). У всіх трьох кривих вузловий вектор має вигляд {0,0; 0,0; 0,0; 1,0; 1,0; 1,0}.

Ваги першої і останньої точок кожної кривої дорівнюють 1. Якщо вага центральної вершини менше 1, то сумарна крива є сегментом еліпса (див. рис. 2.22,а), якщо дорівнює 1, то – сегмент параболи (див. рис. 2.22,б), якщо ж більше 1, то крива перетворюється в гіперболу (див. рис. 2.22,в).

Рис. 2.22. Криві з різними вагами центральної точки

Зазначимо, що раціональні криві мають деякі недоліки, такі розширені можливості призвели до ускладнення інструментарію для їхньої побудови, а це, відповідно, приводить до глибшого вивчення предмета.

2.7.2. Раціональні квадратичні сегменти конічного перерізу

Раціональні криві найпростіше зображати через однорідні координати (див. розділ 1). Запишемо рівняння

Цей вираз є тотожним векторному рівнянню

. (2.20)

Оскільки

і , .

Перепишемо попереднє рівняння у вигляді

Це рівняння нагадує рівняння квадратичної кривої у формі Без’є. Тільки тут є така відмінність: нераціональна крива у формі Без’є може відображати тільки параболу, а раціональна крива – сегмент будь-якого конічного перерізу.

Граничні умови матимуть такий вигляд

Де

,

З урахуванням того, що , звідки , отримаємо

Конічні криві є квадратичними, тому ми можемо зобразити їх квадратичною (степеня 2 або третього порядку) кривою. Такий метод можна використовувати для генерування конічних дуг.

Приклад. Крива визначена трьома керуючими точками. Перша й остання є кінцевими точками конічної дуги, а розміщення внутрішньої керуючої точки визначає форму кривої. Ваги першої і остан­ньої керуючих точок рівні 1,0. Вага менше 1,0 для внутрішньої керуючої точки генерує еліпс; вага, що дорівнює 1,0, –параболу; вага більше 1,0 – гіперболу. Вектор вузлів дорівнює {0,0; 0,0; 0,0; 1,0; 1,0; 1,0}.