2.3.1. Сплайнова функція однієї змінної

Нехай функція визначена на інтервалі [a,b] і є вузлами на проміжку [a,b].

Кубічний сплайн, задовольняє такі співвідношення:

• є кубічним поліномом, а є кубічним поліномом на кожному інтервалі

• ;

• ;

• ;

• .

Три останні умови забезпечують умову неперервності та неперервність похідних. На краях повинні виконуватися граничні умови, наприклад, таких:

1.

2.

3.

Нехай – кубічний поліном, який є частиною S на інтервалі

Поліноми і інтерполюють ту ж саму величину в точці так, що

Припускаємо, що , і є неперервними. Неперервність забезпечує рівність .

Оцінимо на проміжку . Нехай

,

яке існує для і задовольняє рівняння

,

бо неперервна в кожній внутрішній точці. Оскільки є кубічним поліномом на , то є лінійною функцією, яка задовольняє рівняння

і може бути виражена рівнянням прямої між і

,

де .

Проінтегруємо двічі останню формулу

.

Тут C, D – сталі інтегрування, які можна визначити з рівнянь

.

Отже, отримаємо систему

(24)

Далі визначимо . Це можна зробити з неперервності

.

Візьмемо похідну, підставимо значення для , після деяких спрощень отримаємо

;

.

Приймемо і отримаємо

З останньої системи можна отримати таку тридіагональну систему

,

де

Цю систему можна розв’язати деяким чисельним методом, наприклад, Гаусса для тридіагональних систем. Для розв’язування системи повинно виконуватись

Звернемо увагу на вибір Якщо , то маємо природний кубічний сплайн, тоді рівняння (2.4) набуде вигляду.

.

де .

Зазначимо, що природні кубічні сплайни породжують найгладкіші інтерполяційні функції.

Нехай Якщо є природним сплайном, який інтерполює в точках ,

.

Крива, описана фізичним сплайном, мінімізує енергію його внутрішніх напружень. Така крива має мінімальну середньоквадратичну кривину, це означає, що вона є найгладкішою з тих, які проходять через задані точки. В декартових координатах крива мінімальної енергії мінімізує такий інтеграл, узятий між її кінцями.

.

Якщо припустити, що уздовж всієї довжини сплайна, то можна отримати значно простішу задачу мінімізації інтеграла

.

Розглянемо приклади

Приклад 2.1 Визначити всі величини, , для яких наведені нижче функції є кубічними сплайнами:

що інтерполюють такі дані

x	0	1	4
y	26	7	25

Для розв’язування прирівняємо значення функцій у точці .

а також у точці

Отже, треба, щоб справджувались рівності a=c=d. Для того, щоб виконувалась інтерполяція, потрібно

Приклад 2.2. Із застосуванням кубічних сплайнів визначити наближене значення для функції за допомогою такої таблиці.

x	2,2	2,4	2,6
f(x)	0,5207843	0,5104147	0,4813306

Для кожного проміжку запишемо (рис.2.9)

Рис. 2.9. Визначення наближеного значення функції

Знайдемо :

Остаточно отримаємо