2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Рассмотрим уравнения высших порядков, которые с помощью замены переменной сводятся к уравнениям первого порядка.
а) Дифференциальные уравнения вида y(n) = f (x)
Найдём его общее решение.
Так
как y(n)
= y(n - 1)
=
,
то dy(n - 1)
= f (x) dx.
Интегрируя обе части, будем иметь:
y(n
- 1) = (
)
– это уже уравнение порядка (n – 1),
y(n-1)
= (y(n
- 2))
=
,
тогда
dy(n
– 2)
= (
.
Интегрируя обе части, получим:
y(n
- 2) =
,
или
y(n
- 2) =
,
- уравнение порядка (n – 2).
Понижаем таким образом порядок, пока не получим y.
Пример.
yIII
= -
;
(yII)
= -
;
yII
= -
;
(yI)
=
+ с1;
yI
=
;
y
=
,
интегрируя по частям, получим:
y
=
- общее решение.
б) Уравнение вида: (yII) = f (x, y')
Это уравнение не содержит явно искомой функции y.
Решение.
Введём новую функцию p (x), положив
yI
= p (x), тогда yII
=
= P.
Подставляя в данное уравнение, получим:
p
= f (x, p) – уравнение первого порядка.
Допустим, что найдено общее решение этого уравнения
p = (x, c1). Но так как p (x) = yI, то yI = (x, c1).
Тогда
y =
+ c2
– общее решение.
Пример. Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
yII
sin x = (1 + y)
cos x;
Решение. yI= p (x), yII = . Данное уравнение примет вид:
=
(1 + p)
cos
x;
sin
x
dp
= (1 + p)
cos
x
dx.
Уравнение с разделяющимися переменными.
Делим переменные:
;
ln
1
+ p=ln
sinx
+ ln c1
1
+ p = c1
sin x;
p = c1 sin x – 1.
Ho р = уI, тогда
y = - c1 cos x – x + c2 – общее решение.
Находим частное решение, подставляя начальные условия:
1)
0 = - c1
-
+ с2
с2
=
.
2) - 1 = c1 – 1 c1 = 0.
Частное решение: y = - x + .
в) Уравнение вида y'' = f (y, y)
Оно явно не содержит аргумента x.
Решение. Для понижения порядка уравнения снова вводим новую функцию q (y), зависящую от переменной y, полагая y = q (y).
Дифференцируем это равенство по x, учитывая, что y является функцией от x:
y
=
=
=
,
т.е.
y
= q
.
Итак, yII = qq. Подставляя yI и yII, выражaя через q, q, получим:
qq = f (y, q) или q = f (y, q).
Пусть
функция q
(y)
=
(y,
c1)
является общим решением этого уравнения.
Учитывая, что, q
(y)
=
получим
=
(y,
c1)
или
=
dx.
Интегрируя,
получим
=
,
(y,
c1)
= x
+ c2
– общий интеграл данного уравнения.
Пример. Найти общее решение уравнения 2(yI) = (y – I)2 yII.
Решение: у' = q (y);
y''
= q
q
= q
;
2q2
= (y
– 1) q
;
1) q = 0; y = 0 ; y = c;
2)
2q
= (y
– 1)
;
=
.
Интегрируем
:
= 2
,
ln q = 2ln y - 1 + ln c1 q = c1 (y – 1)2,
=
c1
(y
– 1)2;
;
–
=
c1
x
+ c2
;
y
= 1–
- общее решение данного решения.
Итак, уравнение вида y(n) = f (x), y = f (x, y), y = f (x, y) для их решения допускают понижение порядка.
ОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ