Б) Теорема Коши

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

y" = f (x, y, y'). (2)

Для уравнения второго порядка, как и для уравнения первого порядка, имеет место теорема существования и единственности (теорема Коши).

Теорема Коши. Пусть правая часть f (x, y, y') уравнения y" = f (x,y,y^') и её частные производные (x,y,y^') и (x, y, y') определены и непрерывны в некоторой области изменения переменных x, y и y'. Тогда, какова бы ни была внутренняя точка (x₀, y₀, ) этой области, данное уравнение имеет единственное решение y =  (x), удовлетворяющее начальным условиям:

= . (3)

Задача нахождения решения уравнения y'' = f (x, y, y^I), удовлетворяющего заданным начальным условиям, как и в случае уравнения первого порядка, называется задачей Коши.

Дадим теперь определения общего и частного решений уравнения второго порядка, правая часть которого удовлетворяет условиям теоремы Коши в некоторой области G изменения переменных x, y, y¹.

Определение. Функция y=f(x,с₁,с₂), зависящая от аргумента x и двух произвольных постоянных с₁ и с₂ называется общим решением уравнения y''=f(x, y, y^I) в области G, если она удовлетворяет двум условиям:

1) при любых значениях произвольных постоянны с₁ и с₂ функции y = (x, с₁, с₂) является решением уравнения (2);

2) каковы бы ни были начальные условия (3)

= ,

существуют единственные значения постоянных с₁₀ и с₂₀ такие, что функция y=(x, с₁₀, с₂₀) являются решением уравнения (2) и удовлетворяют начальным условиям (3).

Всякое решение y=(x, с₁₀, с₂₀) уравнения (2), получающееся из общего решения y = (x, с₁, с₂) при конкретных значениях постоянных с₁ = с₁₀, с₂= с₂₀, называется частным решением.

Для уравнения n – го порядка yⁿ = f (x, y, y^I,…, y^(n-1)) (4) имеет место теорема существования и единственности, аналогичные соответствующим теоремам для уравнений первого и второго порядка.

В) Задача Коши

Для уравнения n – го порядка формулируется следующим образом: найти решение дифференциального уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям:

= .

Пример. Найти общее решение уравнения третьего порядка y^III = 24x + 6 и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

.

Решение. Так как y^III = (y^П), то (y^II) ^I = 24х + 6.

Интегрируя, находим y^II = 12x² + 6x + c₁. Так как y^II = (y^I) ^I, то (y^I) ^I = 12x² + 6x + c₁ и, интегрируя ещё раз, получаем y^I = 4x³ + 3x² + c₁x + c₂.

Наконец, после ещё одного интегрирования получим общее решение:

y = x⁴ + x³ + + c₂x + c₃.

Выделим из него частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям.

Выпишем общее решение, первую и вторую его производные:

y = x⁴ + x³ + + c₂x + c₃;

y = 4x³ + 3x² + c₁x + c₂;

y'' = 12x² + 6x + c₁

Подставим в эти соотношения начальные условия

0 = c₃  c₃ = 0;

0 = c₂  c₂ = 0;

1 = c₁  c₁ = 1.

Итак, частное решение, соответствующее данным начальным условиям, имеет вид:

y = x⁴ + x³ + x².

Таким образом, используя теорему Коши, решается задача Коши.