§ 3. Базис, координати, розмірність
3.1. Система лінійно незалежних векторів е1, е1, …, еn деякого лінійного простору Е утворить, за визначенням базис простору Е, якщо для усякого вектора E існує подання
= ξ1е1 + ξ2е2 + … + ξnеn (ξj К, j = 1, …, n), (6)
Легко бачити, що при зазначених умовах коефіцієнти подання (6) визначаються єдиним чином. Дійсно, якби для деякого вектора можна було написати два подання
= ξ1е1 + ξ2е2 + … + ξnеn,
= 1е1 + 2е2 + … + nеn
то, віднімаючи почленно, ми одержали б рівність
0 = (ξ1 - 1) е1 + (ξ2 - 2) е2 + … + (ξn - n) еn.
З цієї рівності у силу допущення, що вектори е1, е2, …, еn є лінійно незалежні, одержали б, що
ξ1 = 1, ξ2 = 2, …, ξn = n.
Ці єдиним чином визначені числа ξ1, ξ2, …, ξn називаються координатами вектора щодо базису е1, е2, …, еn.
3.2. П р и к л а д и.
а. У просторі добре відомий базис утворить трійка одиничних взаємно ортогональних векторів і, j, k. Координати ξ1, ξ2, ξ3 вектора щодо цього базису суть проекції вектора на координатні осі.
б. У просторі прикладом базису служить система векторів е1 = (1, 0, …, 0), е2 = (0, 1, …, 0), …, еn = (0, 0, …, 1), розглянута вже нами в 2.2 в. Дійсно, для будь-якого вектора = (ξ1, ξ2, …, ξn) Кn, очевидно має місце рівність
= ξ1 (1, 0, …, 0) + ξ2 (0, 1, …, 0) + … + ξn (0, 0, …, 1),
що і доводить з урахуванням відомої лінійної незалежності векторів е1, е2, …, еn, що ці вектори утворюють базис у просторі .
Зокрема, виявляється, що числа ξ1, ξ2, …, ξn є сааме координатами вектора щодо базису е1, е2, …, еn .
в. У просторі R[a,b] базису - у тім змісті, як він нами тут визначений, - не існує; доказ цього твердження буде дане в 3.6 в.
3.3. Основне значення базису лінійного простору полягає в тому, що лінійні операції в просторі, спочатку задані абстрактно, при завданні базису стають звичайними лінійними операціями з числами-координатами узятих векторів щодо цього базису. Має місце наступна теорема:
Т е о р е м а 1. При додаванні двох векторів простору E їх координати (щодо будь-якого базису) додаються. При множенні вектора на число всі його координати множаться на це число.
Доведення. Дійсно, нехай
= ξ1е1 + ξ2е2 + … + ξnеn у = 1е1 + 2е2 + … + nеn.
Тоді в силу аксіом 2.12 - 2.13
+ у = (ξ1 + 1) е1 + (ξ2 + 2) е2 + … + (ξn + n) еn,
= ξ1е1 + ξ2е2 + … + ξnеn,
що і потрібно довести.
3.4.
Якщо в лінійному просторі E
можна знайти n
лінійно незалежних векторів, а всякі
n
+ 1 векторів цього простору лінійно
залежні, то число n
називають розмірністю простору E;
сам же простір E
називають n-вимірним.
Ми будемо надалі для n-вимірного
простору над полем K
використовувати позначення
(над полем дійсних
чисел R
- відповідно
,
над полем комплексних чисел С - відповідно
).
Лінійний простір,
у
якому можна вказати
як
завгодно велике
число
лінійно незалежних векторів,
називається нескінченновимірним.
Т е о р е м а 2. У просторі E розмірності n існує базис з n векторів; більш того, будь-яка сукупність з n лінійно незалежних векторів простору E є базисом цього простору.
Д
о в
е д е н н я.
Нехай е1,
е2,
…, еn
- система з n
лінійно незалежних векторів заданого
n-вимірного
простору E.
Якщо
- деякий вектор простору E,
то
сукупність з n
+ 1 векторів
,
е1,
е2,
…, еn
лінійно залежна; існує співвідношення
виду
0 + 1е1 + … + nеn = 0, (7)
причому серед коефіцієнтів 0, 1, …, n є відмінні від нуля. Можна стверджувати, що коефіцієнти 0 є відмінним від нуля: дійсно, у протилежному випадку ми одержали б лінійну залежність між векторами е1, е2, …, еn , що, за припущенням, не має місця. Але в такому випадку, розділивши рівняння на 0 і перенісши всі інші члени вправо, ми одержимо, що лінійно виражається через вектори е1, е2, …, еn.
Оскільки - будь-який вектор простору E, ми довели, що вектори е1, е2, …, еn утворюють базис у цьому просторі, що і було потрібно довести.
3.5. Наступна теорема є зворотної стосовно теореми 3.4.
Т е о р е м а 3. Якщо в просторі E є базис, то розмірність цього простору дорівнює числу базисних векторів.
Доведення. Нехай вектори е1, е2, …, еn утворюють базис простору E. По самому визначенню базису вектори е1, е2, …, еn лінійно незалежні; отже, у нас уже мається n лінійно незалежних векторів. Покажемо, що всякі n + 1 векторів простору E лінійно залежні.
Нехай у просторі E задані n + 1 векторів
1 = ξ1(і)е1 + ξ2(1)е2 + …+ ξn(1)еn,
2 = ξ1(2)е1 + ξ2(2)е2 + …+ ξn(2)еn,
………………………………...
n+1 = ξ1(n+і)е1 + ξ2(n+1)е2 + …+ ξn(n+1)еn.
Виписуючи в окремий стовпець координати кожного з цих векторів, складемо матрицю з n рядками і n + 1 стовпцями
ξ1(і) ξ1(2) … ξ1(n+1)
А = ξ2(і) ξ2(2) … ξ2(n+1)
……………………
ξn(і) ξn(2) … ξn(n+1)
Базисний мінор матриці А має порядок r n. Якщо r =0, то лінійна залежність очевидна. Нехай r >0. Після знаходження r базисних стовпців ми зможемо знайти ще щонайменше один стовпець, що не потрапив у число базисних. Але тоді відповідно до теореми про базисний мінор цей стовпець є лінійною комбінацією базисних стовпців. Відповідний вектор простору E є лінійною комбінацією інших векторів (з числа заданих 1, 2, …, n+1). Але в такому випадку вектори 1, 2, …, n+1 згідно 2.3 б, лінійно залежні, що і потрібно довести.
3.6. П р и к л а д и.
а. Простір є трьохвимірний, оскільки віно має базис із трьох векторів і, j, k (2.32 а); відповідно - двохвимірний, - одновимірний.
б. Простір - n-вимірний, оскільки він має базис з n векторів е1, е2, …, еn (3.2 б).
в. У просторах R[a,b] і C[a,b] мається як завгодно велике число лінійно незалежних векторів (2.2 г), і, отже, ці простори нескінченовимірні. Тому вони н е мають б а з и с а: наявність базису привелася б до протиріччя з теоремою 3.5.
г. Усякий комплексний лінійний простір С є, очевидно, і дійсним, оскільки область комплексних чисел містить у собі область дійсних чисел. Однак розмірність простору С як комплексного простору не збігається з розмірністю того ж С як речовинного простору: якщо вектори е1, ..., еn лінійно незалежні в З як у комплексному просторі, то в З як речовинному просторі будуть лінійно незалежні вектори е1, іе1, ..., еn, іеn, так що розмірність З як речовинного простору (якщо вона кінцева), удвічі більше, ніж розмірність З як комплексного простору.