МІНІСТЕРСТВО СІЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА ТА ПРОДОВОЛЬСТВА УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Б.Г. Пелешенко

ЛІНІЙНІ ПРОСТОРИ

Методичні вказівки для студентів вищих учбових закладів

Дніпропетровськ 2011

Лінійні простори. Методичні вказівки/ Дніпропетровський державний аграрний університет. Дніпропетровськ, 2011. 14с.

Поданий теоретичний матеріал з розділу «Лінійні простори», що входить до лінійної алгебри програми курсу вищої математики. Розглянуті детальні розв'язки достатньої кількості прикладів та задач, наведені завдання для самостійної роботи студентів. Навчальний посібник розрахований на студентів технічних та економічних спеціальностей вищих учбових закладів .

Рецензенти: доктор тех. наук, професор О. А. Рядно;

канд. наук. физ.-мат. наук, доцент Т.М. Семиренко

§ 1. Визначення лінійного простору

1.1. В аналітичній геометрії й у механіці використовуються спрямовані відрізки-вектори. Для векторів установлені за визначеними правилами дії: відомо, що означає сума двох векторів і що означає добуток вектора на дійсне число. При цьому виконуються звичайні закони арифметики.

Ми не стосуємося поки інших векторних операцій - скалярного і векторного добутків. Ці два добутки не можуть грати тієї ролі, що грає звичайний добуток у полі дійсних чисел; скалярний добуток векторів уже не є вектор; векторний добуток векторів хоч і є вектор, але ця операція,на відміну від множення дійсних чисел, некомутативна.

Визначення лінійного простору узагальнює визначення сукупності усіх векторів. Узагальнення робиться, по-перше, шляхом відсторонення від конкретної природи об'єктів (спрямованих відрізків) зі збереженням властивостей дій над ними, по-друге, шляхом відсторонення від конкретної природи припустимих множників (дійсних чисел). Таким чином, виходить наступне визначення:

Множина Е називається лінійним (афинним) простором над полем К, якщо а) має місце правило (правило додавання), що дозволяє для кожних двох елементів x і y з Е побудувати такий третій елемент z Е, який називається сумою елементів x і y і позначається х+у;

б) має місце правило (правило множення на число), яке дозволяє побудувати для кожного елемента х Е и будь-якого числа К елемент u Е, який називається добутком елемента x на число і позначається х ;

в) правила а) і б) задовольняють аксіомам, перерахованим у 1.2 – 1.3.

Ми використовуємо тут і надалі деякі позначення теорії множин. Запис а А означає, що елемент а входить у множину А; запис В А означає, що множина В є частиною множини А (причому В може і збігатися з А). Два співвідношення В А, А В рівносильні твердженню, що множини А и В співпадають. Знаки , називаються знаками включення.

Елементи лінійного простору ми будемо називати векторами, незважаючи на те, що по своїй конкретній природі вони можуть бути зовсім і не схожі на звичні нам спрямовані відрізки. Геометричні представлення, зв'язані з назвою "вектори", допоможуть нам усвідомити і часто передбачати потрібні результати, а також знаходити прямий геометричний зміст у різних фактах з алгебри й аналізу, що без того не був би очевидним. Зокрема, у наступній главі ми одержимо просту геометричну характеристику всіх розв’язків однорідної чи неоднорідної системи лінійних рівнянь.

1.2. Передбачається, що правило додавання має наступні властивості:

1) x + у = у + x для будь-яких x і y із Е;

2) ( х + у) +z = x + (у + z ) для будь-яких x, у,z із Е;

3) існує елемент 0 (нуль-вектор) такий, що x + 0 =x для кожного x E;

4) для всякого x E існує елемент у E такий, що x + у = 0 (протилежний елемент).

1.3. Крім того, передбачається, що правило множення на число має наступні властивості:

5) 1 x = x для кожного x E;

6) ( x) = ( )x для будь-якого x E и будь-яких і із К;

7) ( + )x = x + x для будь-якого x E и будь-яких і із К;

8) (x + у) = x + y для будь-яких x і y із E і кожного К.

1.4. З аксіом 1) - 8) можна одержати в першу чергу наступні теореми:

а. Т е о р е м а . У будь-якому лінійному просторі існує єдиний нуль.

Доведення. Існування хоча б одного нуля стверджується в аксіомі 3). Допустимо, що в просторі Е існує два нулі: 0₁ і 0₂. Нехай в аксіомі 3) x= 0₁, y=0₂, тоді одержуємо

0₁ + 0₂ = 0₁.

Покладаючи в тій же аксіомі x= 0₂, y = 0₁, одержуємо

0₂ + 0₁ = 0₂.

Порівнюючи першу з отриманих рівностей із другою і користуючись аксіомою 1), знаходимо 0₁ = 0₂, що і було потрібно.

б. Т е о р е м а 1. У будь-якому лінійному просторі для кожного елемента існує єдиний протилежний елемент.

Доведення. Існування хоча б одного протилежного елемента стверджується в аксіомі 4). Допустимо, що для деякого елемента є два протилежних елементи y₁ і y₂. Додамо до обох частин рівності x + y₁ = 0 елемент y₂; використовуючи аксіоми 2) і 3), одержуємо

y₂+ ( x + y₁) = (y₂ +x ) + y₁ = 0 + y₁ = y₁, y₂ + ( x + y₁)= y₂+ 0 = y₂,

звідки слідує, що y₁ = y₂.

в. Т е о р е м а 2. Для всякого елемента x в будь-якому лінійному просторі має місце рівність

0 x = 0

(у правій частині рівності 0 означає нуль-вектор, у лівій - число 0).

Д о в е д н н я. Розглянемо елемент 0 x + 1 x; використовуючи аксіоми 7) і 5), ми одержуємо

0 x + 1 x = (0 +1)x = 1 x =x , 0 x + 1 x = 0 x +x ,

звідки x= 0 x + x.

Додаючи до обох частин рівності протилежний до x елемент у, знаходимо

0 = x + у = (0 x + x ) + у = 0 x + (x + у) = 0 x + 0 = 0 x,

звідки 0 = 0 x ,що і потрібно довести.

г. Т е о р е м а 3. Для всякого елемента x в будь-якому лінійному просторі протилежним елементом служить

у = (-1) x.

Доведення. Складемо суму x + у; використовуючи аксіоми і теорему в, знаходимо

x + у = 1 x + (-1) ) x = (1-1) ) x = 0 x = 0,

що і потрібно довести.

д. Ми будемо позначати тепер елемент, протилежний даному елементу x, через -x; доведена теорема г робить природним це позначення.

Наявність протилежного елемента дозволяє ввести операцію віднімання. Саме, різниця x-у визначається, як сума x і –y. Це визначення погоджується з визначенням відніманням в арифметиці.

1.5. Лінійний простір над полем R дійсних чисел ми будемо називати дійсним і позначати через R. Лінійний простір над полем С комплексних чисел ми будемо називати комплексним і позначати через С. Якщо зазначені природа елементів x , у, z,... і правила дій над ними (причому повинні бути виконані аксіоми 1) - 8)) , ми будемо називати лінійний простір конкретним і використовувати для нього, як правило, індивідуальне позначення.

П р и к л а д и. Надалі для нас будуть особливо важливі наступні три типи конкретних просторів:

а. П р о с т і р . Елементи цього простору - вільні вектори в просторі, розглянуті в аналітичній геометрії. Кожен вектор характеризується довжиною і напрямком ). Додавання векторів визначене звичайним чином за правилом паралелограма. Множення вектора на дійсне число визначено також звичайним чином (саме, довжина вектора множиться на | |, напрямок при >0 залишається незмінним, при <0 змінється на протилежний). Легко перевірити, що всі аксіоми 1) - 8) тут виконані. Аналогічні сукупності векторів на площині і на прямій, які також представляють собою лінійні простори, позначимо відповідно через і . Отже, , , - лінійні простори над полем R.

б. П р о с т і р Елемент цього простору є будь-яка сукупність x= (ξ₁, ξ_2,…, ξ_n) n чисел з поля К. Ці числа ξ_1, ξ₂,…, ξ_n будемо називати координатами елемента x. Дії додавання і множення на число K виконуються за наступними правилами:

(ξ₁, ξ_2,…, ξ_n) + ( ₁, ₂,…, _n) = (ξ₁ + _1, ξ₂ + _2, ξ_n + _n)_, (1)

(ξ₁, ξ_2, …, ξ_n) = ( ξ₁, ξ_2, …, ξ_n)_. (2)

Легко перевірити, що аксіоми 1) - 8) виконуються. Зокрема, елемент 0 є сукупність n нулів: 0 = (0, 0,..., 0). Якщо K є поле R дійсних чисел, позначення заміняється на . Раніше ми мали справу з елементами цього простору. В випадку, коли K є поле C комплексних чисел, позначення заміняється на .

______________

) За винятком 0-вектора, довжина якого дорівнює нулю, а напрямок довільний.

в. П р о с т і р R[а,в]. Елемент цього простору - будь-яка дійсна неперервна функція x = x(t), визначена на відрізку a x b. Дії додавання функцій і множення їх на дійсні числа визначаються за правилами аналізу; виконання аксіом 1) - 8) очевидно. При цьому елемент 0 є функція, тотожно рівна нулю. Простір R[а,в] є лінійний простір над полем R дійсних чисел.

г. Простір [a,b] відповідно є простір усіх комплекснозначных неперервних функцій, заданих на відрізку a x b. Цей простір є лінійний простір над полем комплексних чисел.

1.6. Помітимо, що усі властивості елементів конкретних просторів (наприклад, векторів простору ), засновані тільки на аксіомах 1) і 8), справедливі і для елементів будь-яких лінійних просторів. Наприклад, аналізуючи доказ теореми Крамера про рішення системи лінійних рівнянь

_{11 1} + _{12 2} + … + _{1n n} = в₁,

_{21 1} + _{22 2} + … + _{2n n} = в₂,

…………………………………….

_{n1 1} + _{n2 2} + … + _{nn n} = в_n,

ми можемо помітити, що в тій частині, що стосувалася величин в₁, в₂ , ..., в_n, воно ґрунтувалося тільки на тім факті, що ці величини можна було складати і множити на числа з К, причому використовувалися правила 1) і 8). Це дозволяє узагальнити теорему Крамера на системи, у яких величини в₁, в₂ , ..., в_n суть вектори (наприклад, елементи простору ). Таким чином можна стверджувати, що теорема Крамера справедлива і для систем, у яких величини в₁, в₂ , ..., в_n є елементами довільного лінійного простору К. Відзначимо тільки, що значення невідомих ₁, ₂, …, _n будуть тоді також елементами цього простору K, які лінійно виражаються через величини в₁, в₂, …, в_n .

1.7. Зауваження. В аналітичній геометрії іноді буває зручно розглядати вектори не вільні, а закріплені своїм початком в початку координат. Такий розгляд зручний тим, що при цьому кожен вектор асоціюється з деякою точкою простору - своїм кінцем і кожна точка простору може бути визначена відповідним вектором, який називається радіусом-вектором цієї точки. Маючи у виді цю картину, ми будемо іноді називати елементи лінійного простору не векторами, а точками.

Зрозуміло, така зміна назви не супроводжується ніякими змінами у визначеннях і апелює лише до наших геометричних представлень.