Практичне заняття №5-6 границя послідовності та границя функції. Неперервність функції.

Теоретичні запитання:

1. Означення послідовності. Поняття околу та границі послідовності. Збіжні та розбіжні послідовності.

2. Обмежені та необмежені послідовності. Необхідна умова збіжності послідовності. Єдність границі послідовності.

3. Арифметичні операції над послідовностями. Теореми про границю суми , різниці, добутку та частки збіжних послідовностей.

4. Нескінченно малі послідовності та їх властивості. Нескінченно великі послідовності. Зв’язок між нескінченно великою та нескінченно малою послідовністю.

5. Особливі випадки та невизначеності, що зустрічаються при відшуканні границі послідовності.

6. Означення граничної точки. Означення границі функції на мові околів. Різні означення границі функції та їх еквівалентність. Основні властивості границі функції.

7. Розкриття невизначеностей. Чудові (важливі ) границі.

8. Нескінченно малі та нескінченно великі функції

9. Неперервність та точки розриву функції

Розв’язати вправи:

1. Знайти границі:

а) , в) ,

б) , г) .

2. Знайти границі послідовностей, заданих своїм загальним членом:

.

2. Знайти границі функцій:

1. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) ,

є) , ж) .

2. з) , и)

3. і) , ї) .

Домашнє завдання:

1. Знайти границі:

а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

2. Знайти границі функції:

а) , б) , в) ,

г) , д) , е) ,

є) , ж) , з) ,

и) , і) , ї) ,

й) .

Практичне заняття №7-8 диференціальне числення функції однієї змінної. Геометричний зміст похідної.

Теоретичні запитання:

1. Означення похідної. Табличка похідних основних елементарних функцій. Основні правила відшукання похідних функції. Похідна степенево – показникової функції. Похідні вищих порядків. Похідна функції заданої параметрично.

2. Геометричний зміст похідної

3. Диференціал функції та його застосування до наближених обчислень

4. Правила Лопіталя

5. Умови сталості та монотонності функції

6. Точки екстремуму та екстремуми функції

7. Опуклість та вгнутість функції

8. Асимптоти графіка функції

9. Повне дослідження функції та побудова графіків

Розв’язати вправи:

1. Нехай функція встановлює залежність витрат виробництва від кількості продукції, що випускається. Знайти граничні витрати виробництва і коефіцієнт еластичності, якщо обсяг продукції складає 100 одиниць, 20 одиниць.

2. Залежність між витратами виробництва і обсягом продукції , що випускається, виражається функцією (грош. од.). Визначити середні і граничні витрати, якщо обсяг продукції 10 од.

3. Продиференціювати функції. У пунктах є)-к) знайти похідну , а у пунктах а)-е) – та .

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

є) ; ж) ; з) ;

и) ; і) ; ї) ;

й) ; к) .

4. Знайти найбільше та найменше значення функції на заданому проміжку:

а) ; б) , .

4. Підприємство виробляє одиниць продукції за ціною , а витрати виробництва задаються функцією . Знайти оптимальний для підприємства обсяг продукції і відповідний йому максимальний прибуток.

5. Використовуючи правила Лопіталя, обчислити границі:

д) , е) .

4. Дослідити функції методами диференціального числення та побудувати їх графіки.

а) ; б) .

Домашнє завдання:

1. Обчислити похідні функцій:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; є) ; ж) .

2. Знайти найбільше та найменше значення функції на заданому проміжку:

а) , ; б) , .

3. Знайти границі, використовуючи правила Лопіталя:

а) , б) , в) , г) .

4. Дослідити функції методами диференціального числення та побудувати їх графіки:

а) ; б) .