1. Определение транспортной задачи

ТЗ - специальный класс задач линейного программирования. Эти задачи часто описывают перемещение (перевозку) какого-либо товара из пункта отправления (ПО) в пункт назначения (ПН). Назначение ТЗ - определение объемов перевозок из пунктов отправления в пункты назначения с минимальной суммарной стоимостью перевозок. При этом должны учитываться ограничения, накладываемые на объемы грузов, имеющихся в ПО (предложение), и ограничения, учитывающие потребность грузов в ПН (спрос).

В общем случае транспортную задачу можно применять для описания ситуаций, связанных с управлением запасами, управлением движением капиталов, составлением расписаний, назначением персонала и так далее.

ТЗ формулируется следующим образом: имеются m пунктов отправления А₁, А₂,…,А_m, в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов в количестве соответственно а₁, а₂,…,а_m единиц. Имеются n пунктов назначения В₁, В₂,…,В_n, подавших заявки соответственно на а₁, а₂,…,а_n единиц груза.

Известны стоимости c_ij перевозки единицы груза от каждого ПО А_i до каждого ПН В_j ( ).

Предполагается, что стоимость перевозки нескольких единиц груза пропорциональна их числу.

Неоходимо найти количество х_ij единиц груза, отправляемого из i-го ПО А_i в j-тый ПН В_j, минимизирующее суммарные транспортные расходы и удовлетворяющее ограничения, накладываемые на объемы грузов в ПО и ПН.

Математическая модель ТЗ имеет вид:

 min; /1.1/

 a_i, i=1,2,…,m; /1.2/

 b_j, j=1,2,…,n; /1.3/

x_ij  0, i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

Если, кроме того, выполняется условие

= , /1.4/

то имеем так называемую закрытую (сбалансированную) ТЗ.

Основные свойства закрытой транспортной задачи

1. Задача в любом случае допустима и разрешима.

2. Среди уравнений - ограничений /1.2 - 1.3/ лишь m + n - 1 линейно независимых.

3. Если в ТЗ все числа а_i (i=1,2,…,m) и b_j (j=1,2,…,n) целые, то хотя бы одно оптимальное решение задачи целочисленное.

Особенностью ТЗ является то, что все коэффициенты в ограничениях /1.2 - 1.3/ равны единице. Это позволяет решать задачу более простым способом, с помощью, так называемой транспортной таблицы (таблица 1.1).

Таблица 1.1

Транспортная таблица для решения танспортной задачи

	B1		B2			…	Bn		ai
А1	x11	c11	x12	c12		…	x1n	c1n	a1
А2	x21	c21	x22	c22		…	x2n	c2n	a2
…	…		…			…	…		…
Аm	xm1	cm1	xm2		cm2	…	xmn	cmn	am
bj	b1		b2			…	bn		=

На рис. 1.1 ТЗ представлена в виде сети с m ПО и n ПН, которые показаны в виде узлов сети. Дуги, соединяющие узлы сети, соответствуют маршрутам, связывающим ПО и ПН.

ПО

ПН

а₁

а₂

а_m

b_n

b₂

b₁

c₁₁:x₁₁

c_mn:x_mn

Предложение

Спрос

Рис 1.1. Представление ТЗ в виде сетевой модели

Алгоритм решения ТЗ будет проиллюстрирован на следующем примере.

Задача 2.1.

Пусть требуется доставить 14 единиц груза со склада №1 и 11 единиц груза со склада №2. Причем в первый пункт назначения должно быть отправлено 7 единиц груза, во второй – 8, в третий – 10. Затраты на доставку отражены в таблице 2.1.1.

Необходимо определить, сколько единиц товара необходимо отправить из каждого склада в каждый пункт назначения, чтобы затраты на перевозку были минимальными.