Тема 3. Изэнтропические течения

Параметры газа при скорости его движения, равной скорости звука (V=a), называются критическими и обозначаются (*). Тогда уравнение энергии можно записать в виде

(3.1.)

где

̶ показатель адиабаты. Для воздуха k = 1,4.

Из (3.1) следует

(3.2)

и

(3.3)

Наряду с числом М для исследования газовых потоков вводят число

– относительную скорость:

(3.4)

Интересно отметить, что, если при увеличении скорости до ее максимального значения ( ) число М стремится к бесконечности, т.к. скорость звука при этом стремится к нулю, то число стремится к его максимальному значению

что следует из соотношения (3.3). Для воздуха

Связь параметров торможения с числом м движущегося газа

Из уравнения энергии:

. (3.5)

Так как для изэнтропических процессов (3.6)

то для постоянных теплоемкостей имеем

. (3.7)

Связь критических параметров с параметрами торможения

Для постоянных теплоемкостей из (3.1) следует:

(при ),

и (3.8)

Параметры торможения и число λ

Из уравнения энергии

тогда

(3.9)

Связь М и λ

, (3.10)

(3.11)

и

. (3.12)

Задачи

№ 3.1 (15)

Какую максимальную скорость воздуха можно получить в сверхзвуковой трубе без подогрева, если учесть, что воздух сжижается при Т=78⁰K.

Ответ: =650 .

№ 3.2 (16)

Какой подогрев воздуха в баллоне при давлении ата надо обеспечить, чтобы при расчётном истечении в атмосферу скорость 700 ?

Ответ: .

№ 3.3 (44)

ЖРД при расчётном истечении должен дать на уровне земли тягу

Р = 50 т. В камере сгорания Т₀ = 2700 К, давление р₀ = 30 ата,

k = 1,25; . Найти скорость истечения V_C, удельную тягу Р_уд, массовый секундный расход , размеры сопла (угол конусности ).

Указание: P = ·V_C ; Р_уд = .

Ответ: , , .

№ 3.4 (45)

Какую максимальную температуру должна выдерживать поверхность ракеты при полете в стратосфере? Скорость невозмущенного потока 3816 км/ч.

Ответ: Т₀ = 775 К.

Тема 4. Скачки уплотнения

4.1. Прямые скачки уплотнения

Торможение сверхзвукового потока осуществляется через скачки. Скачок называют прямым, если его фронт составляет угол по отношению к скорости набегающего сверхзвукового потока. Параметры газа до и после скачка обозначаются индексами 1 и 2 соответственно.

На скачке имеют место соотношения: , , , .

Параметры газа будут определяться через характеристики набегающего потока, при постоянной теплоёмкости:

,

.

Через отношения плотности, давления и энтальпии относительно , получим

;

и уравнение ударной адиабаты:

.

Для идеального адиабатического процесса:

.

Параметры полного торможения (в дальнейшем – торможения) будем обозначать индексом “0” внизу и штрихом вверху.

Для точки торможения имеем:

Из уравнения энергии

;

В соответствии с уравнением Клапейрона:

,

где – коэффициент восстановления давления торможения.

Так как после скачка идет плавное, изэнтропическое торможение, то

,

из которого следует .

Следовательно:

или через число Маха:

.

Коэффициент давления полного торможения газа, прошедшего скачок уплотнения, может быть записан в виде:

,

где

.

Последнее соотношение называют формулой Релея.