Геометрия окружностей

Приведём ряд теорем, которые часто используются при решении задач, связанных с окружностью.

Измерение углов, связанных с окружностью.

Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Угол между касательной и хордой, проведёнными через некоторые точки окружности, измеряется половиной дуги, заключённой между ними.

Метрические соотношения в окружности.

Если хорды AB и CD пересекаются в точке M внутри окружности, то

Если из точки М, лежащей вне окружности, повести к окружности секущую MAB и касательную MC, то .

Задача 13. Вокруг четырёхугольника ABCD с взаимно перпендикулярными диагоналями AC и BD описана окружность радиуса 2 .Найти длину стороны CD, если AB = 3.

 Пусть O — центр окружности. Сторону CD сможем найти из треугольника OCD, если удастся найти . Так как в треугольнике AOB известны все три стороны, то можно найти . Это центральный угол, опирающийся на дугу AB. Тем самым будет найден угол ADB, опирающийся на ту же дугу. Угол CAD дополняет его до 90. Так как он вписанный и опирается на дугу DC, то мы сможем найти и .

План решения задачи составлен. Реализуем его. Из треугольника AOB по теореме косинусов имеем

откуда

Далее

Поэтому Наконец, из треугольника DOC по косинусов найдём DC:

Ответ: 

Задача 14. В равнобедренном треугольнике с углом 120 радиус вписанной окружности равен R. Внутри треугольника лежат два равных касающихся друг друга круга, каждый из которых касается одной боковой стороны треугольника и вписанной в треугольник окружности. Найти радиусы этих кругов.

 Возможны 2 случая: равные круги касаются внутренним или внешним образом окружности, вписанной в данный треугольник ABC.

1-й случай: O₁ и O₂ — центры равных кругов, O — центр вписанной в треугольник ABC окружности.

Обозначим . Тогда Так как

то треугольник O₁OO₂ — правильный. Поэтому

2-й случай: Обозначим . Из треугольника AO₂E имеем Из треугольника OO₂E получим . Из треугольника AOM имеем: Так как , то

Решая это уравнение, получим , или Отсюда . Так как , то 

Задача 15. В треугольник вписана окружность радиуса r . Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольника. Пусть r₁, r₂, r₃ — радиусы вписанных в эти треугольники окружностей . Доказать, что .

 Так как отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки равны между собой, то периметр p треугольника ABC равен сумме периметров “маленьких” треугольников: где — периметры этих треугольников. Каждый из маленьких треугольников подобен треугольнику

ABC ввиду того, что касательные к окружности, вписанной в треугольник ABC, параллельны сторонам этого треугольника (первый признак подобия). Отсюда Складывая почленно эти равенства, получим 

Задача 16. Дан квадрат со стороной 1. Найти радиус окружности, проходящей через одну из вершин квадрата, середину одной из сторон, не содержащих этой вершины, и центр квадрата.

 Радиус MO окружности продлим до пересечения с окружностью в точке L . Точка L лежит на прямой AD . Это вытекает из того, что угол MKD прямой и так как он является вписанным в окружность, то он опирается на диаметр. Из треугольника MKL имеем: где R — радиус окружности. Отсюда Из треугольника MCL получим: Тогда из треугольника DCL по теореме Пифагора будем иметь или

Решая это уравнение, получим: 

ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Треугольник ABC перегнули на биссектрисе BD. Какие линии наложатся при этом?

A. AD и CD Б. AB и BC В. AD и DC, AB и BC

Г. никакие из перечисленных.

2. Какой вид имеет треугольник, в котором один угол равен сумме двух других углов?

A. тупоугольный Б. правильный

В. прямоугольный Г. остроугольный

3. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении…

A. высот Б. медиан В. биссектрис

Г. серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

4. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении…

A. высот Б. медиан В. биссектрис

Г. серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

5. Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит внутри треугольника, то этот треугольник …

A. тупоугольный Б. остроугольный

В. прямоугольный Г. равнобедренный

6. Из центра окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, опущены перпендикуляры на катеты. Какой четырёхугольник образовался при этом?

A. прямоугольная трапеция Б. квадрат

В. прямоугольник, не являющийся квадратом

Г. четырёхугольник, не являющийся прямоугольником

7. Точки касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с его сторонами разбивают стороны треугольника на 6 отрезков. Сколько среди них пар равных?

A. 0 Б. 1 В. 2 Г. 3

8. N — точка пересечения биссектрис AK и BM углов треугольника ABC.

Отношение BN / NM равно …

A. 1 Б. AM / AB В. 2 : 1 Г. AB / AM

9. N — точка пересечения медиан AK и BM треугольника ABC. Отношение AN / NK равно …

A. 1 Б. BK / AB В. 2 Г. AB / BK

10. Медиана AD треугольника ABC продлена и на продолжении отложен отрезок, равный медиане. Полученная точка соединена с вершинами B и С. Какая фигура получилась?

A. трапеция Б. параллелограмм В. ромб

Г. четырёхугольник, отличный от параллелограмма

11. a, b — длины сторон параллелограмма, d₁ и d₂ — длины его диагоналей. Какое соотношение верно?

A. Б.

В. Г. все приведённые соотношения неверны

12. Отношение AO / AB равно:

A. 1 : 2 Б. 3 : 4

В. 1 Г. 2 : 3

13. Радиус r окружности вписанной в треугольник ABC, равен …

A. Б.

В. Г.

( S — площадь треугольника )

14. Какое равенство для радиуса R окружности, описанной около треугольника ABC, неверно?

A. Б.

В. Г.

( S — площадь треугольника)

15. AM — биссектриса угла A. Отрезок BM равен …

A. 3 Б. 4 В. 5

Г. числу, отличному от приведённых

16. АВ=ВС; BDАС; Ас=12, АК=ВК; КМАВ, ВD=8. Отрезок MD равен …

A. Б. В. 5

Г. числу, отличному от приведённых

17. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному. Наибольший угол этого треугольника равен…

A. 30 Б. 36 В. 45 Г. 54

18. В треугольнике ABC AB < BC < AC, O — центр вписанной окружности. К какой вершине треугольника точка O лежит ближе всего?

A. A Б. B В. C Г. определить нельзя

19. Угол между высотами параллелограмма равен 25. Углы параллелограмма соответственно равны …

A. 50 и 130 Б. 65 и 115 В. 25 и 155

Г. величине, отличной от приведенных

20. В трапецию ABCD (AD BC ) можно вписать окружность. Известно, что AD = 3BC, AB = CD. Чему равен угол A?

A. 45 Б. 30 В. 60 Г. определить нельзя

21. В трапеции боковые стороны равны меньшему основанию, диагональ составляет с основанием угол 30. Углы трапеции равны …

A. 60 и 120 Б. 50 и 130 В. 75 и 105 Г. 40 и 140

22. AB = BC; CD — биссектриса угла C, DE AC, EFAD

Какое соотношение верно?

A. AD = DE Б. AD > DE

В. AD < DE Г. AD  DE

23. ABC — остроугольный треугольник, BDAC; CFAB.

K — точка пересечения BD и CF. На одной окружности могут не лежать точки …

А. B, K, C Б. D, K, C

В. A, F, K, D Г. F, B, C, D

24. Боковая сторона равнобочной трапеции равна средней линии трапеции.

Какое утверждение неверно?

A. прямая, соединяющая вершину острого угла с серединой средней линии, является биссектрисой этого угла;

Б. прямая, соединяющая вершину тупого угла с серединой средней линии, является биссектрисой этого угла;

В. около трапеции можно описать окружность

Г. в трапецию можно вписать окружность Д. нет верных

25. В трапецию ABCD можно вписать окружность( AD BC). Какое соотношение справедливо?

А. AB = CD Б. сумма углов A и C равна 180

В. угол А равен углу D Г. AB + CD = BC + AD

26. Какой наибольший центральный угол может быть у многоугольника?

A. 120 Б. 90 В. 108

Г. ответ отличен от приведённых

27. AC — касательная к окружности O, AB — хорда. Дуга BA = 80. Угол BAC равен…

A. 80 Б. 40 В. 100

Г. величине, отличной от приведенных

28. Окружности О₁ и О₂ пересекаются в точках А и В. AO₁ — касательная к окружности О₂. АО₂ — касательная к окружности О₁. Угол О₁АО₂ равен…

1. 90 Б. 45 В. 60 Г. величине, отличной от приведенных

29. На каком расстоянии от центра окружности радиусом 5 см находится хорда длинной 6 см?

A. 3 см Б. 4 см В. 2 см Г. ответ отличен от приведённых

30. В окружности проведена хорда, равная радиусу. Под каким углом видна эта хорда из произвольной точки окружности?

A. 60 Б. 30 В. 45 Г. определить нельзя

ОТВЕТЫ К ТЕСТУ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Б	В	Г	В	Б	Б	Г	Г	В	Б	Б	Г	Г	Г	В
16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
A	Б	Б	В	В	A	A	Г	Д	Г	A	Б	A	Б	Б

УКАЗАНИЯ К ТЕСТУ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. А что совпадает, если треугольник перегнуть по высоте? медиане?

2. Вспомните, чему равна сумма углов треугольника.

3. Центр описанной окружности равноудалён от вершин треугольника.

4. Центр вписанной окружности равноудалён от сторон треугольника.

5. Примените, свойство угла, вписанного в окружность. Сравните соответствующую дугу с полуокружностью.

6. Проверьте, не является ли этот четырёхугольник параллелограммом? прямоугольником?

7. Используйте свойство касательных, проведённых к окружности из одной точки.

8. Как биссектриса внутреннего угла треугольника делит его противоположную сторону?

9. Вспомните свойство медианы треугольника. В каком отношении точка пересечения медиан делит каждую медиану?

10. Это построение можно использовать при вычислении медианы треугольника по трём его сторонам. Обратите внимание на диагонали четырёхугольника.

11. Вспомните соотношение между длинами сторон и диагоналей параллелограмма.

12. Вначале найдите соотношение AO / OB.

13. Запомните формулу для радиуса вписанной окружности.

14. Примените теорему синусов. Формулы для радиуса описанной окружности запомните.

15. См. указание к вопросу 8.

16. Найдите подобные треугольники. Правильно составьте равенство для отношения соответственных сторон.

17. В подобных треугольниках соответственные углы равны. Треугольник, подобный равнобедренному, является равнобедренным.

18. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике AOB сравните АО и ВО.

19. Покажите, что угол между высотами параллелограмма равен острому углу параллелограмма.

20. При каком условии в четырёхугольник можно вписать окружность? Примените свойство треугольника, в котором катет вдвое меньше гипотенузы.

21. Треугольник, образованный боковой стороной, меньшим основанием, диагональю трапеции — равнобедренный.

22. Заметьте, что АЕ — биссектриса угла А.

23. При каких условиях около треугольника и около четырёхугольника можно описать окружность?

26. Чему равна сумма всех центральных углов правильного многоугольника?

30. Примените свойство центрального угла и угла, вписанного в окружность.