Скалярное произведение векторов в r3 и его свойства

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

. (4)

или

.

(5)

Скалярное произведение обозначается символами .

Пример 4. Если , то .

Пример 5. Найдем длину большей диагонали параллелограмма, образованного векторами и , если , (см. рис.5)

Поскольку , то

.

Получим формулу для вычисления скалярного произведения в случае, когда векторы заданы своими координатами, а также некоторые следствия из нее.

Для определенности будем считать, что все векторы определены в пространстве.

Для случая плоскости во всех формулах следует отбросить аппликаты всех векторов (координату ).

Скалярное произведение в координатной форме

Теорема. Пусть в базисе вектор имеет координаты , а вектор – . Тогда

, (6)

т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.

Поскольку базисные векторы взаимно перпендикулярны, то , а поскольку эти векторы имеют единичную длину, то .

Выражение называют скалярным квадратом вектора .

Угол между векторами:

.

(7)

При получим условие перпендикулярности двух векторов:

.

(8)

Пространство, где введено понятие скалярного произведения, называют Евклидовым пространством.

Все реальные явления происходят в трехмерном евклидовом пространстве.

Пример 6. Если , а , то .

Следствие 1. Если вектор , в базисе , то

.

Пример 7.

Если , то .

Пример 8. Если , , то

.

Свойства скалярного произведения

1⁰ Для любых векторов и : , т.е. это произведение коммутативно.

2⁰ Для любого вектора : .

3⁰ Скалярные произведение ненулевых векторов и равно только в том случае, когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны).

4⁰ Для любых векторов и верно соотношение

.

5⁰ Для любого вектора с координатами в базисе верно

, , .

6⁰ Постоянный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т.е. для любых векторов , и числа верно: .

7⁰ Cкалярное произведение обладает свойством дистрибутивности, т.е. для любых векторов : .

Следствие.

Вектор координаты которого совпадают с направляющими косинусами вектора , называется ортом вектора .

Его обозначение = ( ). Орт вектора a по модулю равен 1 и сонаправлен вектору . В самом деле из следствия и следует что т.е. коллинеарен и имеет то же направление.

Пример 9. Для вектора : .

Пример 10. Даны векторы a = λi+2j+3k, b = 4i + λj-4k. При каком значении λ эти векторы перпендикулярны?

Находим скалярное произведение этих векторов a · b = 4λ +2λ -12; так как a b, то a · b =0. отсюда 4λ+2λ-12 = 0; 6λ = 12; λ = 2.

Пример 11. Определить угол между векторами a = i + 2j + 3k, b = 6i + 4j - 2k.

Решение:

cosφ = a · b/|a| |b|, a·b = 6 + 8 - 6 = 8. | a | = √1+4+9 = √14,

| b | = √36+16+4 = √56 = 2√14, cosφ = 8/√14∙2√14 = 2/7, φ = arccos 2/7.