Метод элементарных преобразований

Элементарными преобразованиями для матрицы A называются следующие её преобразования:

1. Перестановка строк или столбцов местами.

2. Умножение строки или столбца на ненулевой коэффициент.

3. Прибавление к одной строке или столбцу матрицы другой её строки или столбца, умноженной на некоторое число .

4. Зачёркивание нулевой строки или столбца матрицы.

Матрица B, полученная из A с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной ей и обозначается в виде A~B.

Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Теорема. Ранг треугольной матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Если равны нулю все определители порядка , порожденных данной матрицей , то .

Определителями 2-го, 3-го порядка называются числа , , представленные в виде квадратных таблиц

, ,

(1)

Количество строк и столбцов определяет порядок определителя.

Числа а_ij, составляющие определитель, называются его элементами. Индекс i - указывает номер строки, j – номер столбца, в пересечении которых находится данный элемент.

Диагональ, исходящая из левого верхнего угла определителя, называется её главной диагональю (совокупность элементов а_11, а_22, …, а_nn)_.

Минором М_ij элемента а_ij называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Минор, умноженный на , называется алгебраическим дополнением элемента .

.

(2)

Свойства определителей:

1.Определитель не изменяется:

- от перемены местами строк определителя с соответствующими его столбцами (транспонирования).

- если элементы его какой-либо строки (столбца), умноженные на любое число, сложить с соответствующими элементами другой строки (столбца).

2. От перемены местами любых двух параллельных строк или столбцов определитель меняет знак.

3. Общий множитель можно выносить за знак определителя.

Если элемент какой-либо строки (столбца) определителя умножить на любое число, то весь определитель умножается на это число.

4.Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбцы), равен нулю.

Определитель также равен нулю, если какая-либо строка (столбец) его состоит из одних нулей или, если элементы любых двух строк (столбцов) пропорциональны между собой.

5. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения другой строки (столбца) его равна нулю:

.

6. Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) его на их алгебраические дополнения

.

(3)

Если все элементы i-строки или j-столбца определителя, кроме , равны нулю, то, применяя теорему Лапласа, порядок определителя можно понизить на единицу:

(4)

Формулу (4) применяют для вычисления определителей порядка .