Умножение матриц

Перемножать можно матрицы только определенных размеров:

(число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В)

При умножении матриц АВ ¹ ВА. При умножении матриц делается оговорка: «слева» или «справа». Но, .

Пусть ,

, где . (4)

Число строк матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов – числу столбцов матрицы .

Произведение матриц соответствующих размеров обладает свойствами:

а) ассоциативности А(ВС)=(АВ)С;

б) дистрибутивности А(В+С)= АВ+АС и (В+С)А= ВА+СА.

Кроме того, для квадратных матриц определитель произведения равен произведению определителей.

Транспонированной матрицей A^T для матрицы A называется матрица, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы A.

Примеры: 1. Даны матрицы Найти и .

Следовательно, . (В этом случае матрицы называются перестановочными).

Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.

Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется матрица A^-1, если выполняется равенство A×A^-1=A^-1×A=E.

Теорема. Для квадратной матрицы, определитель которой отличен от нуля существует обратная матрица, причем единственная.

Обратная матрица определяется формулой:

(5)

Присоединённой матрицей для квадратной матрицы A называется матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A, т.е.

Транспонированной матрицей A^T для матрицы A называется матрица, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы A.

Нахождение обратной матрицы с помощью формулы (5) называется методом присоединенной матрицы.

Квадратные матрицы А и называют взаимно обратными, если

.

Пример . Дана матрица Убедиться, что она невырожденная, найти обратную ей матрицу и проверить выполнимость равенств .

Имеем . . Следовательно,

Ранг матрицы

Рангом матрицы r(A) называется наибольший порядок порожденных ею определителей, отличных от нуля.

Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицы А, порядок которого равен r (A).

Для нахождения r (A) формально необходимо рассмотреть все миноры A, начиная с 1-го порядка и проверить их на вырожденность.

Метод окаймляющих миноров

Выбираем любой невырожденный минор 1-го порядка (ненулевой элемент матрицы A). Обозначим его через M₁. Затем рассматриваем все миноры 2-го порядка, содержащие M₁ (окаймляющие его).

Если все они вырождены, то r (A)=1, если нет, то невырожденный минор 2-го порядка обозначаем через M₂ и так далее.

Если у матрицы A есть невырожденный минор k-го порядка и все окаймляющие его миноры (если они есть) вырождены, то r (A)=k, иначе выбираем минор M_k+1 и продолжаем этот процесс.

Пример. Найти ранг матрицы

У матрицы выбираем невырожденный минор 1-го порядка M₁=(a₁₁)=1. Среди окаймляющих его миноров есть один невырожденный . Единственный минор 3-го порядка, окаймляющий M_2, – это сама матрица A. Но, поскольку |A|=0, то A – вырождена и r (A)=2.