Замечательные пределы

При вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции, часто используют первый замечательный предел

Для раскрытия неопределенности вида |1^∞| используют второй замечательный предел:

Здесь е = 2,718282… – иррациональное число.

Найти пределы:

Пример 23.

Пример 24.

Пример 25.

Лекция 8. Производная и дифференциал функции

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на интервале (а,b), пусть

Приращением аргумента х в точке х₀ называется разность

Приращением функции в точке х₀ называется разность

Функция называется непрерывной в точке х, если в ней бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции (рис.1).

Рисунок 1

Определение. Если существует конечный предел отношения при , то этот предел называют производной функции у = f (х) в точке х и обозначают одним из символов: .

Итак, .

(1)

Функцию, имеющую конечную производную в точке , называют дифференцируемой в этой точке.

Операцию нахождения производной называют дифференцированием функции.

Пример 1. Найти производную функции , воспользовавшись определением производной (1).

При любом приращении имеем:

Так как , то

.

Механический смысл производной.

Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь S(t) (рис. 2)

Рисунок 2

Тогда за промежуток времени от до она проходит путь

,

и средняя скорость точки на промежутке равна . Мгновенная скорость точки в момент равна пределу при .

Итак, мгновенная скорость точки в момент равна производной от пути, проходимого этой точкой по времени при .

Это и есть механический смысл производной.

Геометрический смысл производной

Через две точки и на графике функции проведём прямую. Эта прямая называется секущей к графику функции (рис.1).

Её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла наклона к оси Ох равен

(3)

Здесь может быть как положительным, так и отрицательным.

Касательной к графику функции в точке называется прямая, являющаяся предельным положением секущей, проходящей через точку при .

Другими словами, касательная в точке - это прямая, проходящая через , угловой коэффициент которой

Если существует, то из (3) следует, что

(4)

В этом случае график функции в точке имеет касательную.

Таким образом, геометрически производная есть тангенс угла касательной (угловой коэффициент касательной) к гра­фику в точке

(5)