Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии Лекция 1-2. Матрицы. Определители

(Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Транспонирование матриц. Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Теорема Лапласа. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Экономическая интерпретация матрицы).

Матрицы, виды матриц

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Матрицы обозначают главными буквами латинского алфавита А, В, С, ... - заданные матрицы, X, Y, Z, ...- неизвестные матрицы.

Числа a_ij, b_ij, c_ij составляющие матрицу, называются ее элементами, где i - номер строки , j - номер столбца .

Число строк и столбцов матрицы определяют ее размер. Например, матрица размера имеет вид:

(1)

Главной диагональю матрицы наз. диагональ , идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний угол.

Побочной (второй) диагональю наз. диагональ с элементами , идущая из правого верхнего угла в левый нижний.

При имеем квадратную матрицу.

Квадратную матрицу называют диагональной, если все ее элементы, кроме лежащих на главной диагонали, равны нулю, а главная диагональ содержит хотя бы один элемент, не равный нулю.

Диагональную матрицу, у которой элементы главной диагонали равны единице ( ), называют единичной матрицей и обозначают - . Например, единичная матрица 3-порядка имеет вид

(2)

Две матрицы наз. равными, если равны элементы, стоящие на соответствующих местах: .

Равными могут быть только матрицы одинаковых размеров.

Матрица, все элементы которой равны нулю, наз. нулевой. Обозн. О.

матрица – строка , матрица – столбец

Квадратная матрица, у которой ниже главной диагонали стоят нулевые элементы (a_ij=0), называется верхнетреугольной.

Квадратная матрица, у которой выше главной диагонали стоят нулевые элементы (a_ij=0), называется нижнетреугольной.

Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы называются треугольными.

Теорема. Определитель квадратной треугольной матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на главной диагонали.

Матрицу называют невырожденной (неособенной), если det A ¹ 0.

Если det A = 0 матрица А называется вырожденной. Матрицу можно транспонировать как определитель.

Линейные операции над матрицами, свойства матриц

Операции сложения матриц и умножение матрицы на число называют линейными операциями.

Применять линейные операции над матрицами можно только для матриц одинаковой размерности, получаем матрицы тех же размеров.

Суммой (разностью) двух матриц и наз. матрица , элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В:

, (3)

Эти операции обладают свойствами:

а) коммутативности A+B=B+A,

б) ассоциативности (A+B)+C=A+(B+C),

в) дистрибутивности l(A+B)=lA+lB.

Пример.

При умножении матрицы на число все элементы матрицы умножаются на это число. По-другому, если все элементы матрицы содержат общий множитель, то этот множитель можно выносить за знак матрицы.

Пример.