15. Основные числовые характеристики вектора остатков в классической множественной регрессионной модели

Классическая линейная модель множественной регрессии (КЛММР) представляет собой простейшую версию конкретизации требований к общему виду функции регрессии f(X), природе объясняющих переменных X и статистических регрессионных остатков (Х) в общих уравнениях регрессионной связи. В рамках КЛММР эти требования формулируются следующим образом:

Из (2.5) следует, что в рамках КЛММР рассматриваются только линейные функции регрессии, т.е.

В повторяющихся выборочных наблюдениях (xi(1), xi(2),..., хi(p); yi) единственным источником случайных возмущений значений yi являются случайные возмущения регрессионных остатков i.

Кроме того, постулируется взаимная некоррелированность случайных регрессионных остатков (E(ij) = 0 для i  j). Это требование к регрессионным остаткам 1,...,n относится к основным предположениям классической модели и оказывается вполне естественным в широком классе реальных ситуаций. Тот факт, что для всех остатков 1,2,...,n выполняется соотношение Ei2; =2 , где величина 2 от номера наблюдения i не зависит, означает неизменность дисперсий регрессионных остатков. Последнее свойство принято называть гомоскедастичностью регрессионных остатков.

Сумма квадратов остатков (RSS) измеряет необъясненную часть вариации зависимых переменных. Она используется как основная минимизируемая величина в методе наименьших квадратов и для расчета других показателей.

Стандартная ошибка регрессии (SEE) измеряет величину квадрата (ошибки), приходящейся на одну степень свободы модели.

Она используется в качестве основной величины для измерения качества оценивания модели (чем она меньше, тем лучше).

16. Линейная модель множественной регрессии. Порядок ее оценивания мнк в Excel. Смысл выходной статистической информации функции линейн.

Построение модели множественной регрессии является одним из методов характеристики аналитической формы связи между зависимой (результативной) переменной и несколькими независимыми (факторными) переменными.

Модель множественной регрессии строится в том случае, если коэффициент множественной корреляции показал наличие связи между исследуемыми переменными.

Общий вид линейной модели множественной регрессии:

y_i=β₀+β₁x_1i+…+β_mx_mi+ε_i,

где y_i – значение i-ой результативной переменной, i=1,n;

x_1i…x_mi – значения факторных переменных;

β₀…β_m – неизвестные коэффициенты модели множественной регрессии;

ε_i – случайные ошибки модели множественной регрессии.

При построении нормальной линейной модели множественной регрессии учитываются пять условий:

1) факторные переменные x_1i…x_mi  – неслучайные или детерминированные величины, которые не зависят от распределения случайной ошибки модели регрессии β_i;

2) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях:

3) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений:

4) между значениями случайных ошибок модели регрессии в любых двух наблюдениях отсутствует систематическая взаимосвязь, т.е. случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю):

Это условие выполняется в том случае, если исходные данные не являются временными рядами;

5) на основании третьего и четвёртого условий часто добавляется пятое условие, заключающееся в том, что случайная ошибка модели регрессии – это случайная величина, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G²: ε_i~N(0, G²).

Функция ЛИНЕЙН() – рассчитывает статистику для ряда с применением метода наименьших квадратов, чтобы вычислить прямую линию, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные. Функция возвращает массив, который описывает полученную прямую. Поскольку возвращается массив значений, функция должна задаваться в виде формулы массива.

Создание формулы массива:

• Выделите диапазон ячеек, в которые следует ввести формулу.

• Наберите формулу.

• Нажмите клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

Чтобы найти параметры множественной регрессии средствами Excel, используется функция ЛИНЕЙН(Y;X;1;1), где Y - массив для значений Y, X - массив для значений X (указывается как единый массив для всех значений Х_i).

Конст — логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0.

• Если конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то b вычисляется обычным образом.

• Если аргумент конст имеет значение ЛОЖЬ, то b полагается равным 0 и значения m подбираются так, чтобы выполнялось соотношение y = mx.

Статистика.    Необязательный аргумент. Логическое значение, которое указывает, требуется ли возвратить дополнительную регрессионную статистику.

После применения функции «линейн» мы получаем таблицу, состоящую из пяти строк:

1. первая строка представляет собой коэффициенты от bn до b0 слева направо

2. вторая строка представляет из себя стандартные значения ошибок для коэффициентов b0, …, bn

3. - коэффициент детерминации, - стандартная ошибка СКО остатков

4. F – вычисленное или наблюдаемое значение статистики Фишера, - число степеней свободы

5. RSS – регрессионная сумма квадратов, ESS – остаточная сумма квадратов