52. Модели временных рядов

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов. Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (T), циклической (S) и случайной (Е) компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, - аддитивные модели Y = Т + S + Е, как произведение - мультипликативные модели временного ряда: Y=T* S • Е, как сочетания суммы и произведения-смешенные модели Y=T*S+E ,где Т- тренд, S- сезонная составляющая, Е – случайная составляющая

Модели временных рядов

• тренда: y(t) = T(t) +ξt

где t – время; T(t) - временной тренд заданного параметрического вида (например, линейный T(t) = a + bt); ξt - случайная (стохастическая) компонента;

• сезонности: y(t) = S(t) + ξt

где S(t) - периодическая (сезонная) компонента, ξt - случайная (стохастическая) компонента.

• тренда и сезонности: y(t) = T(t) + S(t) + ξt (аддитивная) или y(t) = T(t)S{t) + ξt (мультипликативная), где T(t) - временной тренд заданного параметрического вида; S(t) - периодическая (сезонная) компонента; ξt - случайная (стохастическая) компонента.

Кроме того, существуют модели временных рядов, в которых присутствует циклическая компонента, формирующая изменения анализируемого признака, обусловленные действием долговременных циклов экономической демографической или астрофизической природы (волны Кондратьева, циклы солнечной активности и т.д.).

Выбор одной из моделей проводится на основе анализа структуры сезонных колебаний.

-Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов.

-Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

-Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

-Расчет значений сезонной компоненты S.

-Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+Е) в аддитивной или (Т∙*Е) в мультипликативной модели.

-Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

-Расчет полученных по модели значений (Т+S) или (Т∙S).

-Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

53. Модели нестационарных временных рядов с трендом и сезонной составляющей и их идентификация.

1. У графика нестационарного ряда у_t есть несколько характерных признаков. Первый из них – это наличие в структуре ряда тренда и (или) сезонной составляющей. Первая модель нестационарных рядов инициирована именно этим признаком. Она служит частным случаем регрессионной модели, имеет следующую предварительную спецификацию:

Y_t = T(t) + S(t) + u_t, E(u_t) = 0 аддитивная модель

Y_t = T(t) * S(t) * u_t мультипликативная модель (1)

Y_t = T(t) * S(t) + u_t смешанная модель

T(t) – тренд – тенденция, обусловленная воздействием «вековых» факторов.

Функция тренда может быть повышающаяся и понижающаяся.

S(t) – сезонная составляющая, описывающая периодичные колебания, как правило, краткосрочного характера в течение года.

U_t – случайная составляющая, предполагается некоторым стационарным рядом с нулевым ожидаемым уровнем.

2. Спецификация (1) требует конкретизации функций T(t) и S(t).

Функция S(t) является периодической с целочисленным периодом w: S(t + w) = S(t).

Период w соответствует одному году (например, если w = 4, то единичный отрезок времени равен одному кварталу). В качестве функции S(t) выбирается линейная комбинация фиктивных переменных d_1,t, …. , d_w-1,t. Так что

S(t) = b₁* d_1,t + …. + b_w-1 * d_w-1,t

Промежуток времени t, в котором все фиктивные переменные d_1,t, …. , d_w-1,t равны нулю, именуется базовым периодом. Если t соответствует базовому периоду, то

S(t) = 0.

Чтобы выбрать функцию T(t) из некоторого множества F = {T₁(t), T₂(t), … , T_k(t)} в качестве адекватной модели тренда, нужно сопоставить наблюдаемые проявления тренда T(t) с соответствующими проявлениями каждого элемента T_i(t) множества F. Ту альтернативу T_i(t) множества F, наблюдаемое проявление которой ближе всего к соответствующему проявлению тренда моделируемого ряда, и следует выбрать в качестве модели T(t) тренда.

Любая функция проявляет себя в характере изменения своих значений в ответ на фиксированные изменения аргумента. Изучив характер этих изменений функций из принятого множества F, выбираем ту которая лучше всего описывает тренд. В множество F входят такие элементарные функции: линейная, полином второй и третьей степени, логарифмическая, показательная, степенная и логарифмическая.

Таким образом, функция T(t) имеет вид:

1. T(t) = a₀ + a₁ * t

2. T(t) = a₀ + a₁ * t + a₂ * t²

3. T(t) = a₀ * e^{a1* t}

4. T(t) = a₀ * t^a1

5. T(t) = a₀ + a₁ * ln t