1.1.8. Связь между линейной и угловой скоростью, линейным и угловым ускорением

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси линейные скорости и линейные (тангенциальные) ускорения для различных его точек будут различны. Угловая скорость и угловое ускорение будут одинаковыми для всех точек вращающегося тела.

Для того чтобы найти связь между модулями линейной и угловой скорости нужно использовать известное в геометрии соотношение между центральным углом и дугой, на которую он опирается (рис. 1.6)

.

Отсюда:

.

Используя формулы (1.5) и (1.12), получим

Формула (1.15) показывает, что линейная скорость равна угловой, умноженной на радиус.

Чтобы найти связь между модулями линейного (тангенциального) и углового ускорений, продифференцируем формулу (1.15)

Воспользуемся формулами (1.10) и (1.14) и получим

Из формулы (1.16) следует, что линейное (тангенциальное) ускорение равно угловому, умноженному на радиус.

1.2.1. Силы в механике

Силой  называется мера действия одного тела на другое, т. е. мера взаимодействия тел.

В физике известно четыре вида взаимодействия тел:

• ядерное (между нуклонами атомного ядра);

• слабое (при распаде некоторых элементарных частиц);

• электромагнитное (между частицами, имеющими электрический заряд);

• гравитационное (между любыми частицами).

Ядерное и слабое взаимодействие в механике не рассматриваются. Электромагнитное взаимодействие проявляется в механике в виде сил трения и упругости. Гравитационное взаимодействие является самым "слабым". Однако, при наличии больших масс (планеты, звезды и т. д.) оно является весьма существенным. Поэтому для большинства явлений механики, происходящих на Земле, нужно учитывать силу тяготения (т. е. гравитационное взаимодействие).

Гравитационная сила (или сила всемирного тяготения) является фундаментальной силой. Гравитация является всеобщим законом для всей Вселенной. Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, формулируется следующим образом.

Два тела (рассматриваемые как материальные точки) притягиваются друг к другу по прямой, их соединяющей, с силами, прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними

где      - гравитационная постоянная.

Перечислим некоторые нефундаментальные силы, которые используются при решении задач в механике.

Сила тяжести

где     - масса тела,   - ускорение свободного падения.

Сила трения

где     - коэффициент трения,   N - сила нормального давления. Сила трения направлена против движения.

Сила упругости

,

где  k - коэффициент упругости,      - деформация (изменение длины тела):   . Формулу для силы упругости можно записать проще, если считать, что  .

Тогда:

Сила упругости вычисляется по закону Гука, согласно которому упругая деформация пропорциональна действующей на тело силе.

 

1.2.2. Масса и импульс тела

Опыт показывает, что всякое тело сопротивляется попыткам изменить его состояние. Это свойство называется инертностью.

Масса - это мера инертности тела.

Масса также определяет гравитационные свойства и определяется количеством вещества, заключенного в теле.

Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость. Это векторная величина